Между лампочкой и экраном расстояние 1м.при каких положениях собирающей линзы с фокусным расстоянием 22см,помещенной между лампочкой и экраном ,изображение нити лампы будет отсвечивать?

Давай решим эту задачу шаг за шагом, чтобы понять, как работает собирающая линза и как она формирует изображение. ### Дано: - Расстояние между лампочкой и экраном: \( d = 1 \text{ м} = 100 \text{ см} \) - Фокусное расстояние линзы: \( f = 22 \text{ см} \) ### Цель Определить положения линзы, при которых изображение будет отсвечивать (яркое изображение, находящееся в фокусе линзы). ### Шаг 1: Основные формулы Для собирающей линзы используем формулу тонкой линзы: \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} \] где: - \( f \) — фокусное расстояние (22 см), - \( d_o \) — расстояние от предмета (лампочки) до линзы, - \( d_i \) — расстояние от линзы до изображения (экрану). ### Шаг 2: Расстояние от линзы до экрана Зная, что расстояние между лампочкой и экраном равно 100 см, можно выразить \( d_i \) через \( d_o \): \[ d_i = 100 \text{ см} - d_o \] ### Шаг 3: Подстановка в формулу Теперь подставим \( d_i \) в формулу линзы: \[ \frac{1}{22} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{100 - d_o} \] ### Шаг 4: Приведение к общему знаменателю Упрощаем уравнение. Перемножим все на \( 22 \cdot d_o \cdot (100 - d_o) \): \[ (100 - d_o) \cdot 22 + d_o \cdot 22 = d_o \cdot (100 - d_o) \] Теперь раскроем скобки: \[ 2200 - 22d_o + 22d_o = d_o \cdot 100 - d_o^2 \] Это упрощается до: \[ 2200 = 100d_o - d_o^2 \] ### Шаг 5: Переписываем как квадратное уравнение Переписываем уравнение: \[ d_o^2 - 100d_o + 2200 = 0 \] ### Шаг 6: Решение квадратного уравнения Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ d_o = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -100 \), \( c = 2200 \): \[ d_o = \frac{100 \pm \sqrt{(-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2200}}{2 \cdot 1} \] Рассчитаем дискриминант: \[ D = 10000 - 8800 = 1200 \] Теперь найдем корни: \[ d_o = \frac{100 \pm \sqrt{1200}}{2} \] Поскольку \( \sqrt{1200} \approx 34.64 \): \[ d_o = \frac{100 \pm 34.64}{2} \] ### Шаг 7: Нахождение значений \( d_o \) 1. \( d_o \approx \frac{134.64}{2} \approx 67.32 \) 2. \( d_o \approx \frac{65.36}{2} \approx 32.68 \) ### Шаг 8: Находим \( d_i \) Теперь найдем соответствующие \( d_i \) для каждого значения \( d_o \): 1. При \( d_o \approx 67.32 \): \[ d_i \approx 100 - 67.32 \approx 32.68 \text{ см} \] 2. При \( d_o \approx 32.68 \): \[ d_i \approx 100 - 32.68 \approx 67.32 \text{ см} \] ### Ответ: Таким образом, линза должна находиться на расстоянии около 67.32 см от лампочки или около 32.68 см от экрана, чтобы изображение нити лампы было отсвечивающим на экране.