Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на…
Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Определение функции
Мы знаем, что поступления в бюджет \( R \) зависят от налоговой ставки \( x \) (в процентах) и являются квадратичной функцией. Квадратичная функция имеет вид:
\[ R(x) = ax^2 + bx + c \]
Где \( a, b, c \) — некоторые коэффициенты, которые нам нужно определить.
Шаг 2: Запись уравнений исходя из данных
У нас есть три условия:
- При \( x = 10 \): \( R(10) = 1.3 \) млрд фантиков
- При \( x = 33 \): \( R(33) = 1.3 \) млрд фантиков
- При \( x = 27 \): \( R(27) = 1.6 \) млрд фантиков
Это позволяет нам записать систему уравнений:
\[ \begin{cases} a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \\ a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \\ a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \\ \end{cases} \]
Шаг 3: Подстановка и упрощение
Подставим значения:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (уравнение 1)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (уравнение 2)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (уравнение 3)
Теперь у нас есть три уравнения с тремя неизвестными \( a, b, c \). Выразим \( c \) из уравнения 1:
\[ c = 1.3 - 100a - 10b \]
Шаг 4: Подстановка \( c \) в оставшиеся уравнения
Теперь подставим выразенное значение \( c \) в уравнения 2 и 3:
Для уравнения 2:
\[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \]
Сократим:
\[ 1089a - 100a + 33b - 10b = 0 \implies 989a + 23b = 0 \tag{уравнение 4} \]
Для уравнения 3:
\[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \]
Сократим:
\[ 729a - 100a + 27b - 10b = 0.3 \implies 629a + 17b = 0.3 \tag{уравнение 5} \]
Шаг 5: Решаем систему уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений (4) и (5):
- \( 989a + 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0.3 \)
Из первого уравнения выражаем \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23}a \]
Подставим это значение во второе уравнение:
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \]
Умножим уравнение на 23, чтобы убрать дробь:
\[ 629 \times 23a - 17 \times 989 a = 6.9 \]
Вычислим \( 629 \times 23 = 14467 \) и \( 17 \times 989 = 16813 \):
\[ (14467 - 16813)a = 6.9 \implies -2346a = 6.9 \implies a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.002938 \]
Теперь найдем \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23}(-0.002938) \approx 0.04376 \]
И подставим \( a \) и \( b \) обратно в уравнение для \( c \):
\[ c = 1.3 - 100 \times (-0.002938) - 10 \times 0.04376 \]
Шаг 6: Получение значения
Теперь найдем максимальное значение функции \( R(x) \). Максимум квадратичной функции \( ax^2 + bx + c \) находится в вершине параболы, которая по оси \( x \) находится в точке:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]
Подставив найденные \( a \) и \( b \), получим:
\[ x_{max} = -\frac{0.04376}{2 \times -0.002938} \approx 7.45\% \]
Ответ:
Ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет, составляет примерно 27%.
