Задание 8. В крупном отделе компании 5 человек получают зарплату 50 тыс.р. в месяц, 10 человек получают 60 тыс.р., 6 человек получают по 100 тыс.р, и 2 человека – по 120 тыс.р.
Перед Новым Годом совет директоров компании выделил на премирование сотрудников отдела 200 тыс. р. Эта сумма будет добавлена к декабрьской зарплате. Начальник отдела хочет распределить премии так, чтобы медиана общих выплат сотрудникам в декабре оказалась наибольшей возможной (это важный показатель работы начальника). Найдите эту наибольшую возможную медианную выплату. Ответ дайте в тысячах рублей.
Для решения задачи о распределении премий с целью достижения максимальной медианы выплаченных средств, сначала разберемся с базовыми зарплатами сотрудников и вычислим, каковы будут общие выплаты, если просто добавить к зарплатам премии.
1. **Исходные данные по зарплатам:**
- 5 человек получают по 50 тыс. р.
- 10 человек получают по 60 тыс. р.
- 6 человек получают по 100 тыс. р.
- 2 человека получают по 120 тыс. р.
Обозначим сотрудников по группам:
- Группа A: 5 человек по 50 тыс. р.
- Группа B: 10 человек по 60 тыс. р.
- Группа C: 6 человек по 100 тыс. р.
- Группа D: 2 человека по 120 тыс. р.
2. **Общая сумма зарплат до премий:**
- Группа A: \(5 \times 50 = 250\) тыс. р.
- Группа B: \(10 \times 60 = 600\) тыс. р.
- Группа C: \(6 \times 100 = 600\) тыс. р.
- Группа D: \(2 \times 120 = 240\) тыс. р.
Общая сумма:
\[
250 + 600 + 600 + 240 = 1690 \text{ тыс. р.}
\]
3. **Общее количество сотрудников:**
\[
5 + 10 + 6 + 2 = 23 \text{ человека.}
\]
4. **Премия:**
У нас есть 200 тыс. р. на распределение, а мы хотим максимизировать медиану.
5. **Сначала определим текущие выплаты без премий:**
Текущие выплаты:
- 5 человек получают 50 тыс. р.
- 10 человек получают 60 тыс. р.
- 6 человек получают 100 тыс. р.
- 2 человека получают 120 тыс. р.
В эквивалентных порядках:
\[
50, 50, 50, 50, 50, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 120, 120
\]
Вычислим медиану для 23 сотрудников:
Медиана - это 12-й по порядку элемент (так как \(n=23\)):
\[
\text{Медиана} = 60 \text{ тыс. р.}
\]
6. **Максимизация медианы:**
Для того чтобы медиана выросла, необходимо повышать зарплаты наименьших групп до тех пор, пока мы не достигнем порога, где стадия 12-й элемент доходит до 100 тыс. р.
Чтобы медиана стала равной 100 тыс. р., 12-й элемент должен стать 100 тыс. р. Это значит, что 2 сотрудника из группы B (с 60 тыс. р.) нужно повысить до 100 тыс. р.
Распределение премий:
- 5 сотрудников из группы A: 50 тыс. р.
- Премия: 0
- 8 сотрудников из группы B: 60 тыс. р.
- Премия: 40 тыс.
- 6 сотрудников из группы C: 100 тыс. р.
- Премия: 0
- 2 сотрудников из группы D: 120 тыс. р.
- Премия: 0
Общее распределение:
- 5 человек: 50 + 0 = 50
- 8 человек: 60 + 40 = 100
- 6 человек: 100 + 0 = 100
- 2 человека: 120 + 0 = 120
7. **Теперь найдем новую медиану:**
В новом наборе:
\[
50, 50, 50, 50, 50, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 120, 120
\]
Медианой вновь будет 100.
Итак, мы достигли максимальной медианы, равной 100 тыс. рублей.
Ответ: **100**
