Чтобы определить, компланарны ли вектора ( \mathbf{a} ), ( \mathbf{b} ) и ( \mathbf{c} ), необходимо вычислить их скалярный полный (или смешанный) объем. Вектора компланарны, если объем, определяемый этими векторами, равен нулю. Объем можно найти, вычислив детерминант матрицы, составленной из координат векторов.
Для векторов ( \mathbf{a} = {3, 7, 2} ), ( \mathbf{b} = {-2, 0, -1} ) и ( \mathbf{c} = {2, 2, 1} ) запишем определитель:
[
V = \begin{vmatrix}
3 & 7 & 2 \
-2 & 0 & -1 \
2 & 2 & 1
\end{vmatrix}
]
Теперь вычислим этот определитель:
[
V = 3 \begin{vmatrix}
0 & -1 \
2 & 1
\end{vmatrix}
- 7 \begin{vmatrix}
-2 & -1 \
2 & 1
\end{vmatrix}
- 2 \begin{vmatrix}
-2 & 0 \
2 & 2
\end{vmatrix}
]
Теперь посчитаем каждую из составных детерминантов:
( \begin{vmatrix} 0 & -1 \ 2 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) = 2 )
( \begin{vmatrix} -2 & -1 \ 2 & 1 \end{vmatrix} = (-2 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) = -2 + 2 = 0 )
( \begin{vmatrix} -2 & 0 \ 2 & 2 \end{vmatrix} = (-2 \cdot 2 - 0 \cdot 2) = -4 )
Теперь подставим эти значения обратно в наш определитель:
[
V = 3 \cdot 2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot (-4)
]
[
V = 6 + 0 - 8
]
[
V = -2
]
Так как объем ( V \neq 0 ), векторы ( \mathbf{a} ), ( \mathbf{b} ) и ( \mathbf{c} ) не компланарны.
