Компланарны ли вектора a, b и c? a={3, 7, 2}, b={-2, 0, -1}, c={2, 2, 1}

Чтобы определить, компланарны ли вектора \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \), необходимо вычислить их скалярный полный (или смешанный) объем. Вектора компланарны, если объем, определяемый этими векторами, равен нулю. Объем можно найти, вычислив детерминант матрицы, составленной из координат векторов.

Для векторов \( \mathbf{a} = \{3, 7, 2\} \), \( \mathbf{b} = \{-2, 0, -1\} \) и \( \mathbf{c} = \{2, 2, 1\} \) запишем определитель:

\[ V = \begin{vmatrix} 3 & 7 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} \]

Теперь вычислим этот определитель:

\[ V = 3 \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 7 \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \]

Теперь посчитаем каждую из составных детерминантов:

1. \( \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) = 2 \)

2. \( \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (-2 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) = -2 + 2 = 0 \)

3. \( \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = (-2 \cdot 2 - 0 \cdot 2) = -4 \)

Теперь подставим эти значения обратно в наш определитель:

\[ V = 3 \cdot 2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot (-4) \] \[ V = 6 + 0 - 8 \] \[ V = -2 \]

Так как объем \( V \neq 0 \), векторы \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \) не компланарны.