Даны действительные числа а, b, с. Найдите минимальное значение выражения (7 +a - b)^2 + (2 + b -c)^2 + (9+ c - a)^2
Для нахождения минимального значения выражения
\[ (7 + a - b)^2 + (2 + b - c)^2 + (9 + c - a)^2, \]
подход будет следующим:
Обозначим выражения: Введем обозначения:
- \( x_1 = 7 + a - b \)
- \( x_2 = 2 + b - c \)
- \( x_3 = 9 + c - a \)
Тогда наше выражение можно переписать как:
\[ f(a, b, c) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2. \]
Оптимизация: Минимизация суммы квадратов выражений достигается, когда каждое из этих выражений равно нулю, то есть:
\[ x_1 = 0, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 0. \]
Решим каждое уравнение:
Из уравнения \( x_1 = 0 \) получаем: \[ 7 + a - b = 0 \implies a - b = -7 \implies a = b - 7. \]
Из уравнения \( x_2 = 0 \) получаем: \[ 2 + b - c = 0 \implies b - c = -2 \implies b = c - 2. \]
Из уравнения \( x_3 = 0 \) получаем: \[ 9 + c - a = 0 \implies c - a = -9 \implies c = a + 9. \]
Подставим выражения: Теперь подставим значение \( b \) из второго уравнения в первое:
\( a = (c - 2) - 7 \implies a = c - 9. \)
Получаем две идентичные зависимости:
- \( c = a + 9 \)
- \( a = c - 9 \)
Это не дает новой информации, а значит, у нас есть параметрическая зависимость между \( a, b, c \).
Уравнение между переменными:
Теперь \( b = c - 2 \) и \( c = a + 9 \):
Подставим \( c \) в \( b \): \[ b = (a + 9) - 2 = a + 7. \]
Таким образом, получили:
- \( a = a \)
- \( b = a + 7 \)
- \( c = a + 9 \)
- Минимальное значение: Теперь все у нас представлено через одну переменную \( a \): \[ f(a, b, c) = 0. \]
Мы видим, что \( (7 + a - (a + 7))^2 + (2 + (a + 7) - (a + 9))^2 + (9 + (a + 9) - a)^2 = 0 + 0 + 0 = 0 \).
Таким образом, минимальное значение данного выражения равно:
\[ \boxed{0}. \]
Это минимальное значение достигается при \( a = a \) (любом действительном числе), \( b = a + 7 \) и \( c = a + 9 \).
