Даны действительные числа а, b, с. Найдите минимальное значение выражения (7 +a - b)^2 + (2 + b -c)^2 + (9+ c - a)^2

Для нахождения минимального значения выражения \[ (7 + a - b)^2 + (2 + b - c)^2 + (9 + c - a)^2, \] подход будет следующим: 1. **Обозначим выражения**: Введем обозначения: - \( x_1 = 7 + a - b \) - \( x_2 = 2 + b - c \) - \( x_3 = 9 + c - a \) Тогда наше выражение можно переписать как: \[ f(a, b, c) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2. \] 2. **Оптимизация**: Минимизация суммы квадратов выражений достигается, когда каждое из этих выражений равно нулю, то есть: \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 0. \] 3. **Решим каждое уравнение**: - Из уравнения \( x_1 = 0 \) получаем: \[ 7 + a - b = 0 \implies a - b = -7 \implies a = b - 7. \] - Из уравнения \( x_2 = 0 \) получаем: \[ 2 + b - c = 0 \implies b - c = -2 \implies b = c - 2. \] - Из уравнения \( x_3 = 0 \) получаем: \[ 9 + c - a = 0 \implies c - a = -9 \implies c = a + 9. \] 4. **Подставим выражения**: Теперь подставим значение \( b \) из второго уравнения в первое: \( a = (c - 2) - 7 \implies a = c - 9. \) Получаем две идентичные зависимости: - \( c = a + 9 \) - \( a = c - 9 \) Это не дает новой информации, а значит, у нас есть параметрическая зависимость между \( a, b, c \). 5. **Уравнение между переменными**: Теперь \( b = c - 2 \) и \( c = a + 9 \): Подставим \( c \) в \( b \): \[ b = (a + 9) - 2 = a + 7. \] Таким образом, получили: - \( a = a \) - \( b = a + 7 \) - \( c = a + 9 \) 6. **Минимальное значение**: Теперь все у нас представлено через одну переменную \( a \): \[ f(a, b, c) = 0. \] Мы видим, что \( (7 + a - (a + 7))^2 + (2 + (a + 7) - (a + 9))^2 + (9 + (a + 9) - a)^2 = 0 + 0 + 0 = 0 \). Таким образом, минимальное значение данного выражения равно: \[ \boxed{0}. \] Это минимальное значение достигается при \( a = a \) (любом действительном числе), \( b = a + 7 \) и \( c = a + 9 \).