В прямоугольном треугольнике АВС АВ=10 см, АС=5√3 см и угол А 30°. Найти скалярное произведение сторон прямоугольника

Давайте разберём задачу шаг за шагом. **Дано:** - Прямоугольный треугольник АВС с углом А = 30°. - Длина стороны АВ = 10 см. - Длина стороны АС = 5√3 см. **Сначала запомним свойства прямоугольного треугольника:** 1. Он имеет один прямой угол (угол С). 2. Остальные два угла в сумме равны 90°. Используя угол А = 30°, мы можем узнать угол B, который равен 90° - 30° = 60°. Заметим, что в данном треугольнике: - Сторона АВ (10 см) - это противолежащая сторона к углу A (30°). - Сторона АС (5√3 см) - это прилежащая сторона к углу A. **Теперь используем тригонометрию для нахождения стороны ВС, используя теорему синусов или соотношения для треугольников:** Соотношения для треугольника с углом 30°: - Противолежащая сторона (АВ) = 10 см - Прилежащая сторона (АС) = 5√3 см Согласно определению синуса и косинуса: - \( \sin(30°) = \frac{АВ}{АС} = \frac{10}{АС} \) - \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \) Теперь выясним длину стороны ВС. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] \[ BC^2 = (10)^2 + (5\sqrt{3})^2 \] \[ BC^2 = 100 + 75 = 175 \] \[ BC = \sqrt{175} = 5\sqrt{7} \] **Теперь находим скалярное произведение:** Скалярное произведение двух векторов \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) можно выразить через длины векторов и угол между ними: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta) \] Для нашего случая: - Длина вектора AB (противолежащая сторона) = 10 см - Длина вектора AC (прилежащая сторона) = 5√3 см - Угол между векторами AB и AC = 30° Теперь вычисляем скалярное произведение: \[ |\vec{AB}| = 10 \text{ см}, \quad |\vec{AC}| = 5\sqrt{3} \text{ см} \] \[ \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Теперь подставим значения в формулу: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 10 \cdot (5\sqrt{3}) \cdot \cos(30°) \] \[ = 10 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ = 10 \cdot \frac{5 \cdot 3}{2} \] \[ = 10 \cdot \frac{15}{2} = 75 \] Таким образом, скалярное произведение сторон AB и AC равно **75 см²**.