В прямоугольном треугольнике АВС АВ=10 см, АС=5√3 см и угол А 30°. Найти скалярное произведение сторон прямоугольника
Давайте разберём задачу шаг за шагом.
Дано:
- Прямоугольный треугольник АВС с углом А = 30°.
- Длина стороны АВ = 10 см.
- Длина стороны АС = 5√3 см.
Сначала запомним свойства прямоугольного треугольника:
- Он имеет один прямой угол (угол С).
- Остальные два угла в сумме равны 90°.
Используя угол А = 30°, мы можем узнать угол B, который равен 90° - 30° = 60°.
Заметим, что в данном треугольнике:
- Сторона АВ (10 см) - это противолежащая сторона к углу A (30°).
- Сторона АС (5√3 см) - это прилежащая сторона к углу A.
Теперь используем тригонометрию для нахождения стороны ВС, используя теорему синусов или соотношения для треугольников:
Соотношения для треугольника с углом 30°:
- Противолежащая сторона (АВ) = 10 см
- Прилежащая сторона (АС) = 5√3 см
Согласно определению синуса и косинуса:
- \( \sin(30°) = \frac{АВ}{АС} = \frac{10}{АС} \)
- \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \)
Теперь выясним длину стороны ВС. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] \[ BC^2 = (10)^2 + (5\sqrt{3})^2 \] \[ BC^2 = 100 + 75 = 175 \] \[ BC = \sqrt{175} = 5\sqrt{7} \]
Теперь находим скалярное произведение:
Скалярное произведение двух векторов \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) можно выразить через длины векторов и угол между ними:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta) \]
Для нашего случая:
- Длина вектора AB (противолежащая сторона) = 10 см
- Длина вектора AC (прилежащая сторона) = 5√3 см
- Угол между векторами AB и AC = 30°
Теперь вычисляем скалярное произведение:
\[ |\vec{AB}| = 10 \text{ см}, \quad |\vec{AC}| = 5\sqrt{3} \text{ см} \] \[ \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Теперь подставим значения в формулу:
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 10 \cdot (5\sqrt{3}) \cdot \cos(30°) \] \[ = 10 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ = 10 \cdot \frac{5 \cdot 3}{2} \] \[ = 10 \cdot \frac{15}{2} = 75 \]
Таким образом, скалярное произведение сторон AB и AC равно 75 см².
