Зная, что cos a=4√5/9 и а расположен в IV четверти. Найди sin а

Для решения задачи найдем значение синуса угла \( a \), используя тригонометрические идентичности, а именно теорему Пифагора.

1. Известные данные: \[ \cos a = \frac{4\sqrt{5}}{9} \] Угол \( a \) находится в IV четверти, где синус отрицательный, а косинус положительный.

2. Используем формулу: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] Подставим известное значение косинуса в формулу: \[ \sin^2 a + \left(\frac{4\sqrt{5}}{9}\right)^2 = 1 \]

3. Вычисляем квадрат косинуса: \[ \left(\frac{4\sqrt{5}}{9}\right)^2 = \frac{16 \cdot 5}{81} = \frac{80}{81} \]

4. Подставляем в уравнение: \[ \sin^2 a + \frac{80}{81} = 1 \]

5. Вычитание \(\frac{80}{81}\) из обеих сторон: \[ \sin^2 a = 1 - \frac{80}{81} \] Чтобы выполнить вычитание, представим 1 в виде дроби с тем же знаменателем: \[ 1 = \frac{81}{81} \] Тогда: \[ \sin^2 a = \frac{81}{81} - \frac{80}{81} = \frac{1}{81} \]

6. Извлечение корня: Теперь найдем значение синуса: \[ \sin a = \sqrt{\frac{1}{81}} = \frac{1}{9} \quad \text{или} \quad \sin a = -\frac{1}{9} \] Поскольку угол \( a \) находится в IV четверти, где синус отрицательный, выбираем: \[ \sin a = -\frac{1}{9} \]

7. Ответ: \[ \sin a = -\frac{1}{9} \]

Таким образом, значение синуса угла \( a \) равно \(-\frac{1}{9}\).