Чтобы найти площадь поверхности шара, описанного около конуса, сначала нам нужно определить радиус этого шара. Для конуса с радиусом основания \( r \) и высотой \( h \) радиус…
Чтобы найти площадь поверхности шара, описанного около конуса, сначала нам нужно определить радиус этого шара. Для конуса с радиусом основания \( r \) и высотой \( h \) радиус описанной сферы \( R \) можно найти по формуле: \[ R = \frac{\sqrt{r^2 + h^2}}{2} \] В вашем случае радиус основания \( r = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \) и высота \( h = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \). Сначала вычислим \( r^2 \) и \( h^2 \): \[ r^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = \frac{4}{\pi} \] \[ h^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = \frac{1}{\pi} \] Теперь подставим это в формулу для \( R \): \[ R = \frac{\sqrt{\frac{4}{\pi} + \frac{1}{\pi}}}{2} = \frac{\sqrt{\frac{4 + 1}{\pi}}}{2} = \frac{\sqrt{\frac{5}{\pi}}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{\pi}} \] Теперь, зная радиус шара, мы можем рассчитать его площадь поверхности. Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле: \[ S = 4\pi R^2 \] Теперь подставим значение \( R \): \[ R^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{\pi}}\right)^2 = \frac{5}{4\pi} \] Подставляем \( R^2 \) в формулу для площади: \[ S = 4\pi \left(\frac{5}{4\pi}\right) = 5 \] Таким образом, площадь поверхности шара, описанного около конуса, равна \( 5 \) квадратных единиц.
Чтобы понять, как найти площадь поверхности шара, описанного около конуса, рассмотрим подробно каждую часть задачи.
Шаг 1: Определение радиуса описанного шара
Чтобы найти радиус описанного шара \( R \), мы используем формулу:
\[ R = \frac{\sqrt{r^2 + h^2}}{2} \]
где:
- \( r \) — радиус основания конуса,
- \( h \) — высота конуса.
В вашем случае:
- \( r = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \)
- \( h = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \)
Шаг 2: Вычисление \( r^2 \) и \( h^2 \)
Сначала находим значения \( r^2 \) и \( h^2 \):
\[ r^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = \frac{4}{\pi} \]
\[ h^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = \frac{1}{\pi} \]
Шаг 3: Подставляем значения в формулу для \( R \)
Теперь можем подставить \( r^2 \) и \( h^2 \) в формулу для радиуса \( R \):
\[ R = \frac{\sqrt{\frac{4}{\pi} + \frac{1}{\pi}}}{2} \]
Складываем дроби под корнем:
\[ R = \frac{\sqrt{\frac{4 + 1}{\pi}}}{2} = \frac{\sqrt{\frac{5}{\pi}}}{2} \]
Упрощаем:
\[ R = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{\pi}} \]
Шаг 4: Вычисление площади поверхности шара
Площадь поверхности сферы \( S \) вычисляется по формуле:
\[ S = 4\pi R^2 \]
Теперь найдем \( R^2 \):
\[ R^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{\pi}}\right)^2 = \frac{5}{4\pi} \]
Подставим это значение в формулу для площади:
\[ S = 4\pi \left(\frac{5}{4\pi}\right) \]
Сократим:
\[ S = 5 \]
Итог
Таким образом, площадь поверхности шара, описанного около конуса, равна \( 5 \) квадратных единиц.
