Новый Год праздновали 32 сотрудника трёх отделений банка. В малом отделении сотрудников меньше, а в большом – больше, чем в среднем. Все расселись вокруг праздничного стола.…
Новый Год праздновали 32 сотрудника трёх отделений банка. В малом отделении сотрудников меньше, а в большом – больше, чем в среднем. Все расселись вокруг праздничного стола. Посмотрев на своего соседа справа, каждый сидящий за столом подумал: – Солжёт тот, кто скажет, будто сидящий от меня по правую руку работает в более крупном отделении, чем я. Среди подуманных мыслей ровно 20 оказались ошибочными. Сколько сотрудников в среднем отделе?
Чтобы решить задачу, давайте обозначим количество сотрудников в каждом из отделений:
- Пусть количество сотрудников в малом отделении – \( x \).
- Количество сотрудников в среднем отделении – \( y \).
- Количество сотрудников в большом отделении – \( z \).
Согласно условию, общее количество сотрудников равно 32. Мы можем записать это уравнение как:
\[ x + y + z = 32 \quad (1) \]
Далее, давайте разберемся с мыслями сотрудников. Каждый из 32 сотрудников делает утверждение о своем соседе справа, получая 20 неверных утверждений. Это означает, что 20 из 32 сотрудников полагают, что сотрудник справа работает в более крупном отделении, чем они сами.
Возрастем количество неверных утверждений. Если сотрудник работает в:
- малом отделении, он считает, что сидящий справа (в среднем или большом отделении) работает в более крупном отделении.
- среднем отделении, он может считать, что сидящий справа в малом – меньше, а в большом – больше, в этом случае он сделает ошибку, если его сосед справа работает в большом отделении.
- большом отделении, он считает, что сидящий справа в малом или среднем – меньше.
Таким образом, у нас есть следующие возможности:
- Все сотрудники из малого отделения (число равно \( x \)) ошибаются относительно своих соседей, если соседи из среднего или большого отделений.
- Сотрудники из среднего отделения ошибаются только в случае, если их соседи из большого отделения (количество таких сотрудников равно \( z \)).
- Наконец, сотрудники из большого отделения не ошибаются, так как соседи всегда меньше.
Теперь мы можем записать количество ошибочных мыслей:
\[ x + z = 20 \quad (2) \]
Теперь мы имеем систему из двух уравнений:
\[ \begin{cases} x + y + z = 32 \\ x + z = 20 \end{cases} \]
Из уравнения (2) выразим \( z \):
\[ z = 20 - x \quad (3) \]
Теперь подставим (3) в (1):
\[ x + y + (20 - x) = 32 \]
Сократим \( x \):
\[ y + 20 = 32 \]
Теперь найдем \( y \):
\[ y = 32 - 20 = 12 \]
Итак, средний отдел имеет 12 сотрудников.
Теперь можно подводить итог: количество сотрудников в среднем отделе равно 12.
