Реши задачу с развёрнутым решением. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. Какова вероятность того, что попавший в окно мяч, пролетит через решетку, не задев ее, если радиус мяча равен: а) 10см, б) 5см?

Для решения данной задачи давайте рассмотрим окно как прямоугольник, состоящий из клеток, где каждая клетка имеет сторону 20 см. Рассмотрим вероятность того, что мяч не заденет ни одну из решеток при его полете. ### 1. Определение области и размеров Каждая клетка имеет сторону 20 см. Это означает, что между двумя соседними прутьями (или решетками) есть пустое пространство 20 см, равное размеру клетки. ### 2. Радиус мяча Обозначим: - \( R_1 = 10 \) см (радиус первого мяча) - \( R_2 = 5 \) см (радиус второго мяча) ### 3. Размеры прохода для мяча Когда мяч движется через решетку, его центр должен находиться на некотором расстоянии от прутьев решетки, чтобы мяч не задел прутья. Если радиус мяча равен \( R \), то центр мяча должен находиться на расстоянии как минимум \( R \) от линии, обозначающей край прутьев. **Для клеток**: - Прутья решетки занимают часть пространства, и расстояние от центра мяча до прутьев должно быть больше радиуса мяча, чтобы избежать соприкосновения. ### 4. Расчет безопасной зоны для мяча Для мячей разного радиуса безопасные зоны будут разные: **а) Радиус мяча 10 см (\( R_1 = 10 \) см)** Чтобы мяч прошел через решетку, его центр должен находиться на расстоянии более 10 см от краев клеток. Теперь посчитаем, сколько места у нас есть: Каждая клетка имеет сторону 20 см, поэтому центр мяча должен находиться внутри области, представляющей собой квадрат со стороной \( 20 - 2R_1 = 20 - 20 = 0 \). В этом случае мяч с радиусом 10 см не сможет пройти через решетку, так как ни одна область не остается для безопасного движения. **Вероятность \( P_1 \)**: \[ P_1 = 0\] (мяч не может пройти) **б) Радиус мяча 5 см (\( R_2 = 5 \) см)** Теперь расчет: Центр мяча должен находиться на расстоянии более 5 см от краев клеток. Рассчитаем безопасную зону: \[ 20 - 2R_2 = 20 - 10 = 10 \text{ см} \] Это означает, что центр мяча может находиться в области размером 10 см (по ширине и высоте) в пределах клетки. ### 5. Область, отведенная под центр мяча Полная площадь клетки равна: \[ A_{cell} = 20 \times 20 = 400 \text{ см}^2 \] Площадь безопасной области, где центр мяча должен находиться: \[ A_{safe} = 10 \times 10 = 100 \text{ см}^2 \] ### 6. Вероятность того, что мяч пройдет через клетку Теперь находим вероятность \( P_2 \): \[ P_2 = \frac{A_{safe}}{A_{cell}} = \frac{100}{400} = \frac{1}{4} \] ### Выводы - **Для мяча радиусом 10 см:** вероятность того, что он пройдет через решетку, равна 0. - **Для мяча радиусом 5 см:** вероятность того, что он пройдет через решетку, равна \( \frac{1}{4} \) или 25%. Эти результаты показывают, как размер мяча влияет на вероятность его прохождения через решетку.