3. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 16, а апофема пирамиды равна 10. Найдите высоту пирамиды.
Чтобы найти высоту правильной четырёхугольной пирамиды, в которой сторона основания равна 16, а апофема равна 10, мы можем использовать прямоугольный треугольник.
Шаг 1: Определение параметров
- Сторона основания (квадратного) пирамиды: \( a = 16 \)
- Апофема (с наклоном от вершины пирамиды до середины стороны основания): \( l = 10 \)
Шаг 2: Определение высоты
Высота пирамиды \( h \) и апофема \( l \) образуют прямоугольный треугольник, в котором одной из сторон является половина стороны основания, а другой — высота пирамиды.
Половина стороны основания
Чтобы найти половину стороны основания, мы делим её на два:
\[ \frac{a}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]
Теперь у нас есть следующий прямоугольный треугольник:
- Одно катет (половина стороны основания) = 8
- Другой катет (высота пирамиды) = \( h \)
- Гипотенуза (апофема) = 10
Шаг 3: Использование теоремы Пифагора
В прямоугольном треугольнике справедлива теорема Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
\[ h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = l^2 \]
Подставим известные значения:
\[ h^2 + 8^2 = 10^2 \]
Шаг 4: Подсчет
Теперь упростим уравнение:
\[ h^2 + 64 = 100 \]
Вычтем 64 из обеих сторон:
\[ h^2 = 100 - 64 \]
\[ h^2 = 36 \]
Теперь найдём \( h \), извлекая квадратный корень:
\[ h = \sqrt{36} = 6 \]
Ответ
Таким образом, высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 6.
Обсуждение
2 сообщения4. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Чтобы найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно вычислить площадь основания и сумму площадей боковых граней.
Шаг 1: Площадь основания
Поскольку основание пирамиды является квадратом со стороной \( a = 10 \), площадь основания \( S_{\text{осн}} \) будет равна:
\[ S_{\text{осн}} = a^2 = 10^2 = 100 \]
Шаг 2: Площадь боковых граней
Правильная четырехугольная пирамида имеет четыре боковые грани, каждая из которых является равнобедренным треугольником.
Чтобы найти площадь боковой грани, нам нужна ее высота. Для этого мы используем прямоугольный треугольник, где:
Одна сторона — это половина стороны квадрата основания (половина \( a \)): \[ \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
Другая сторона — это высота боковой грани, а гипотенуза — это боковое ребро \( l = 13 \).
Используем теорему Пифагора, чтобы найти высоту треугольника:
\[ h_{\text{бок}}^2 + 5^2 = 13^2 \]
Подставим значения:
\[ h_{\text{бок}}^2 + 25 = 169 \]
Вычтем 25:
\[ h_{\text{бок}}^2 = 169 - 25 \]
\[ h_{\text{бок}}^2 = 144 \]
Теперь извлечем квадратный корень:
\[ h_{\text{бок}} = \sqrt{144} = 12 \]
Шаг 3: Площадь боковой грани
Площадь одной боковой грани (треугольника) равна:
\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \]
Поскольку таких боковых граней четыре, общая площадь боковых граней:
\[ S_{\text{боковые}} = 4 \cdot S_{\text{бок}} = 4 \cdot 60 = 240 \]
Шаг 4: Общая площадь поверхности
Теперь мы можем найти общую площадь поверхности пирамиды:
\[ S_{\text{общ}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{боковые}} = 100 + 240 = 340 \]
Ответ
Таким образом, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет \( 340 \) квадратных единиц.
