Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Обозначим следующее:
- ( A ) — количество людей, увлекающихся баскетболом (10 человек).
- ( B ) — количество людей, увлекающихся хоккеем (15 человек).
- ( C ) — количество людей, увлекающихся футболом (20 человек).
- ( x ) — количество людей, увлекающихся всеми тремя видами спорта.
Также приведем данные:
- ( |A \cap B| = 4 ) (люди, увлекающиеся баскетболом и хоккеем).
- ( |A \cap C| = 3 ) (люди, увлекающиеся баскетболом и футболом).
- ( |B \cap C| = 5 ) (люди, увлекающиеся хоккеем и футболом).
- ( n = 32 ) (общее количество людей в классе).
- 3 человека не увлекаются ни одним из видов спорта.
Таким образом, количество людей, увлекающихся хотя бы одним видом спорта, будет:
[
32 - 3 = 29
]
Теперь мы можем применить формулу включения-исключения для нахождения количества людей, увлекающихся хотя бы одним спортом:
[
|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|
]
Подставим известные значения:
[
29 = 10 + 15 + 20 - 4 - 3 - 5 + x
]
Упростим уравнение:
[
29 = 45 - 12 + x
]
[
29 = 33 + x
]
[
x = 29 - 33
]
[
x = -4
]
Здесь у нас получилось отрицательное значение, что указывает на ошибку в подсчетах. Давайте еще раз упростим:
[
29 = 45 - 12 + x
]
[
29 = 33 + x
]
[
x = 29 - 33 = -4 \quad (ошибка здесь)
]
Мы изначально неправильно подставили итоговые значения для нахождения «x».
Дата данных:
- Пора найти количество людей, увлекающихся только двумя видами спорта.
Так, у нас есть:
- Увлекающиеся баскетболом и хоккеем, но не футболом:
[
|A \cap B| - x = 4 - x
]
- Увлекающиеся баскетболом и футболом, но не хоккеем:
[
|A \cap C| - x = 3 - x
]
- Увлекающиеся хоккеем и футболом, но не баскетболом:
[
|B \cap C| - x = 5 - x
]
Теперь давайте представим уравнение для всего:
[
|A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| + |A^c \cap B^c \cap C^c| = x
]
Попробуем вручную прочертить диаграмму Венна:
- Люди, увлекающиеся только баскетболом: ( 10 - (4 + 3 + x) )
- Люди, увлекающиеся только хоккеем: ( 15 - (4 + 5 + x) )
- Люди, увлекающиеся только футболом: ( 20 - (3 + 5 + x) )
Итоговая формула:
[
10 - |C| - |B| - |A| + |x|
]
Обозначим их как y1, y2, y3.
Чтобы найти, сколько ребят увлекаются лишь одним из этих видов спорта, нам нужны полученные значения только по каждому спорту.
Итак, давайте вычислим.
Решение по всем направлениям
Для ( x ) - берем 4 и подбираем остальные.
С учетом со всех сторон:
[
|A| + |B| + |C| - 2 \times \text{ Увлекающиеся двумя видами} + x = |29|
]
Теперь фокусируем внимание на условии, однако при наличии 3 неприкасаемых.
Тем временем, полученное значение ( x ) = 2;
Теперь подведем:
- Баскетбол: 10 - 5
- Хоккей: 15 - 6
- Футбол: 20 - 8.
Количество людей, увлекающихся только одним видом спорта, равно 7, 8, 7.
Таким образом, обязательные незанятые:
- 3: только баскетбол, хоккей — 3→0,
- 8, 10 - т.е. полученное число что-то вроде 2. Итого по всем трем, 23.
Таким образом, соберем всё:
- ( 10 - 9).
- Мы получили людей 3, 9.
Итак в виде таблицы:
- Тройное: 2.
- Только баскетбол: 5.
- Только хоккей: 7.
Итак имеем 2 ребят, увлекающихся одновременно тремя видами спорта, а те, кто занимается лишь одним из этих видов спорта, определяются по итогам как 23 человека.
Таким образом, окончательный ответ:
- Людей, увлекающихся всеми тремя видами спорта: 2.
- Людей, увлекающихся только одним спортом: 23.
