4. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Для нахождения площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нужно сначала определить обе ее составляющие: площадь основания и площадь боковых граней.

Шаг 1: Найдем площадь основания

Основание нашей пирамиды — это квадрат со стороной 10.

Формула для площади квадрата: \[ S_{основания} = a^2 \] где \( a \) — длина стороны квадрата.

Подставим значение: \[ S_{основания} = 10^2 = 100 \]

Шаг 2: Найдем площадь боковых граней

У правильной четырехугольной пирамиды имеются 4 равные треугольные боковые грани. Площадь одной боковой грани можно найти по формуле для площади треугольника: \[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times a \times h \] где \( a \) — основание треугольника, а \( h \) — его высота.

В нашем случае основание стороны треугольника равно стороне квадрата \( a = 10 \). Высоту \( h \) можно найти, используя геометрию.

Нахождение высоты бокового треугольника

Поскольку боковые ребра равны 13, а стороны основания равны 10, мы можем представить, что у нас есть треугольник, образованный:

• Половиной стороны основания (половина стороны квадрата) \( \frac{10}{2} = 5 \).
• Высотой \( h \) от вершины пирамиды до основания (перпендикулярно середине стороны основания).
• Боковым ребром (гипотенуза) равным 13.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора: \[ h^2 + 5^2 = 13^2 \]

Подставляем значения: \[ h^2 + 25 = 169 \] \[ h^2 = 169 - 25 \] \[ h^2 = 144 \] \[ h = \sqrt{144} = 12 \]

Площадь одной боковой грани

Теперь можем найти площадь одной боковой грани: \[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60 \]

Так как у нас 4 боковые грани, общая площадь боковых границ: \[ S_{боковых\ грани} = 4 \times S_{треугольника} = 4 \times 60 = 240 \]

Шаг 3: Найдем полную площадь поверхности пирамиды

Теперь суммируем площадь основания и площадь боковых граней: \[ S_{поверхности} = S_{основания} + S_{боковых\ грани} \] \[ S_{поверхности} = 100 + 240 = 340 \]

Ответ

Таким образом, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет 340 квадратных единиц.