Из точки М к окружности с центром О проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания A и B, если и MA  =  9.

Решим задачу по геометрии, связанную с касательными к окружности из внешней точки. ### Дано: - Окружность с центром в точке \( O \). - Точка \( M \) — внешняя точка, из которой проведены касательные \( MA \) и \( MB \) к окружности. - Длина касательных: \( MA = MB = 9 \). ### Найти: - Расстояние между точками касания \( A \) и \( B \). ### Решение: 1. **Определение свойств касательных:** Касательные, проведенные из одной и той же внешней точки к окружности, имеют одинаковую длину. Это уже дано, так как \( MA = MB = 9 \). Также они образуют прямые углы с радиусами, которые проведены к точкам касания. 2. **Обозначение:** Обозначим: - \( OA \) и \( OB \) — радиусы, проведенные от центра окружности \( O \) к точкам касания \( A \) и \( B \). - Угол между радиусами и касательными: \( \angle OMA = \angle OMB = 90^\circ \). 3. **Применение теоремы Пифагора:** В треугольнике \( OMA \): \[ OM^2 = OA^2 + MA^2 \] Здесь \( MA = 9 \). Так как \( OA \) — радиус окружности, обозначим его как \( r \). Тогда мы имеем: \[ OM^2 = r^2 + 9^2 \] Аналогично для треугольника \( OMB \) будет: \[ OM^2 = r^2 + 9^2 \] 4. **Расстояние между точками касания A и B:** Отрезок \( AB \) может быть найден через использование свойства о расстоянии между точками касания: \[ AB = 2 \cdot MA \] Здесь мы можем объяснить, что отрезок \( AB \) равен двум длинам касательной, потому что он является основанием равнобедренного треугольника \( OMAOB \). 5. **Подставляем известные значения:** Подставим значение \( MA = 9 \): \[ AB = 2 \cdot 9 = 18 \] ### Ответ: Расстояние между точками касания \( A \) и \( B \) равно \( 18 \) единиц.