построить график функции y=|x2-x-6| и определи, при каком значении m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки

Для решения данной задачи разберем функцию \( y = |x^2 - x - 6| \) и определим, при каком значении \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно три общие точки.

Шаг 1: Исследуем функцию \( y = |x^2 - x - 6| \)

Сначала нужно понять, при каком \( x \) аргумент модуля \( x^2 - x - 6 \) равен нулю. Найдем корни уравнения \( x^2 - x - 6 = 0 \).

Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \] Корни находятся по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \): \[ x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2 \]

Корни: \( x = -2 \) и \( x = 3 \).

Шаг 2: Построение графика

Теперь мы знаем, что парабола \( y = x^2 - x - 6 \) прерывается в точках \( x = -2 \) и \( x = 3 \). Мы можем разделить график на три части:

1. \( x < -2 \): Здесь \( y = x^2 - x - 6 \)
2. \( -2 \leq x \leq 3 \): Здесь \( y = -(x^2 - x - 6) = -x^2 + x + 6 \)
3. \( x > 3 \): Здесь \( y = x^2 - x - 6 \)

Шаг 3: Построение функций для каждой части:

1. Для \( x < -2 \) и \( x > 3 \): \[ y = x^2 - x - 6 \] Это парабола, открывающаяся вверх.

2. Для \( -2 \leq x \leq 3 \): \[ y = -x^2 + x + 6 \] Это парабола, открывающаяся вниз.

Шаг 4: Определение значения \( m \)

Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно три общие точки с графиком функции, она должна пересекать параболу в одной из ее верхней частей (где она открыта вверх) и в одной из нижней части (где она открыта вниз).

• Парабола \( y = x^2 - x - 6 \) будет пересекаться с прямой \( y = m \) в двух точках, если \( m \) меньше максимума параболы, и одна точка, если прямая касается ее (дискриминант равен нулю).
• Парабола \( y = -x^2 + x + 6 \) будет пересекаться с \( y = m \) в одной точке, если \( m \) больше максимума данной параболы.

Шаг 5: Находим максимум второго кусочка

Для \( -x^2 + x + 6 \):

1. Находим вершину: \[ x_{вершина} = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2} \]
2. Значение функции в точке вершины: \[ y\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + 6 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 6 = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{24}{4} = \frac{25}{4} \]

Ответ

Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно три общие точки с графиком функции, значение \( m \) должно быть равно \( \frac{25}{4} \) (это максимум параболы, открывающейся вниз). То есть \( m \) должно быть меньше \( \frac{25}{4} \) и одновременно пересекать параболу, открывающуюся вверх.

Таким образом, прямая \( y = m \) с графиком функции \( y = |x^2 - x - 6| \) имеет ровно три общие точки, когда: \[ m < \frac{25}{4} \] и \( m \) должно быть больше или равно минимуму на параболе, чтобы не пересекать его в двух местах (это отрицательное значение).

Заключение

Прямая \( y = m \) будет иметь ровно три точки пересечения с графиком \( y = |x^2 - x - 6| \), если \( m \) находится в интервале: \[ m \in \left(-\infty, -6\right) \cup \left(-6, \frac{25}{4}\right) \]