Вопрос от Анонимного юзера 01 марта 2025 13:49

Question 1

Построить график функции y=|x2-x-6| и определи, при каком значении m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки

Answer

Для решения данной задачи разберем функцию ( y = |x^2 - x - 6| ) и определим, при каком значении ( m ) прямая ( y = m ) имеет с графиком ровно три общие точки.

Шаг 1: Исследуем функцию ( y = |x^2 - x - 6| )

Сначала нужно понять, при каком ( x ) аргумент модуля ( x^2 - x - 6 ) равен нулю. Найдем корни уравнения ( x^2 - x - 6 = 0 ).

Используем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 ] Корни находятся по формуле ( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ): [ x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2 ]

Корни: ( x = -2 ) и ( x = 3 ).

Шаг 2: Построение графика

Теперь мы знаем, что парабола ( y = x^2 - x - 6 ) прерывается в точках ( x = -2 ) и ( x = 3 ). Мы можем разделить график на три части:

( x < -2 ): Здесь ( y = x^2 - x - 6 )
( -2 \leq x \leq 3 ): Здесь ( y = -(x^2 - x - 6) = -x^2 + x + 6 )
( x > 3 ): Здесь ( y = x^2 - x - 6 )

Шаг 3: Построение функций для каждой части:

Для ( x < -2 ) и ( x > 3 ): [ y = x^2 - x - 6 ] Это парабола, открывающаяся вверх.
Для ( -2 \leq x \leq 3 ): [ y = -x^2 + x + 6 ] Это парабола, открывающаяся вниз.

Шаг 4: Определение значения ( m )

Чтобы прямая ( y = m ) имела ровно три общие точки с графиком функции, она должна пересекать параболу в одной из ее верхней частей (где она открыта вверх) и в одной из нижней части (где она открыта вниз).

Парабола ( y = x^2 - x - 6 ) будет пересекаться с прямой ( y = m ) в двух точках, если ( m ) меньше максимума параболы, и одна точка, если прямая касается ее (дискриминант равен нулю).
Парабола ( y = -x^2 + x + 6 ) будет пересекаться с ( y = m ) в одной точке, если ( m ) больше максимума данной параболы.

Шаг 5: Находим максимум второго кусочка

Для ( -x^2 + x + 6 ):

Находим вершину: [ x_{вершина} = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2} ]
Значение функции в точке вершины: [ y\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + 6 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 6 = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{24}{4} = \frac{25}{4} ]

Ответ

Чтобы прямая ( y = m ) имела ровно три общие точки с графиком функции, значение ( m ) должно быть равно ( \frac{25}{4} ) (это максимум параболы, открывающейся вниз). То есть ( m ) должно быть меньше ( \frac{25}{4} ) и одновременно пересекать параболу, открывающуюся вверх.

Таким образом, прямая ( y = m ) с графиком функции ( y = |x^2 - x - 6| ) имеет ровно три общие точки, когда: [ m < \frac{25}{4} ] и ( m ) должно быть больше или равно минимуму на параболе, чтобы не пересекать его в двух местах (это отрицательное значение).

Заключение

Прямая ( y = m ) будет иметь ровно три точки пересечения с графиком ( y = |x^2 - x - 6| ), если ( m ) находится в интервале: [ m \in \left(-\infty, -6\right) \cup \left(-6, \frac{25}{4}\right) ]

Question 2

построить график функции y=|x2-x-6| и определи, при каком значении m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки

Answer

Для решения данной задачи разберем функцию \( y = |x^2 - x - 6| \) и определим, при каком значении \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно три общие точки. ### Шаг 1: Исследуем функцию \( y = |x^2 - x - 6| \) Сначала нужно понять, при каком \( x \) аргумент модуля \( x^2 - x - 6 \) равен нулю. Найдем корни уравнения \( x^2 - x - 6 = 0 \). Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \] Корни находятся по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \): \[ x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2 \] Корни: \( x = -2 \) и \( x = 3 \). ### Шаг 2: Построение графика Теперь мы знаем, что парабола \( y = x^2 - x - 6 \) прерывается в точках \( x = -2 \) и \( x = 3 \). Мы можем разделить график на три части: 1. \( x < -2 \): Здесь \( y = x^2 - x - 6 \) 2. \( -2 \leq x \leq 3 \): Здесь \( y = -(x^2 - x - 6) = -x^2 + x + 6 \) 3. \( x > 3 \): Здесь \( y = x^2 - x - 6 \) ### Шаг 3: Построение функций для каждой части: 1. **Для \( x < -2 \) и \( x > 3 \)**: \[ y = x^2 - x - 6 \] Это парабола, открывающаяся вверх. 2. **Для \( -2 \leq x \leq 3 \)**: \[ y = -x^2 + x + 6 \] Это парабола, открывающаяся вниз. ### Шаг 4: Определение значения \( m \) Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно три общие точки с графиком функции, она должна пересекать параболу в одной из ее верхней частей (где она открыта вверх) и в одной из нижней части (где она открыта вниз). - Парабола \( y = x^2 - x - 6 \) будет пересекаться с прямой \( y = m \) в двух точках, если \( m \) меньше максимума параболы, и одна точка, если прямая касается ее (дискриминант равен нулю). - Парабола \( y = -x^2 + x + 6 \) будет пересекаться с \( y = m \) в одной точке, если \( m \) больше максимума данной параболы. ### Шаг 5: Находим максимум второго кусочка Для \( -x^2 + x + 6 \): 1. Находим вершину: \[ x_{вершина} = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2} \] 2. Значение функции в точке вершины: \[ y\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + 6 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 6 = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{24}{4} = \frac{25}{4} \] ### Ответ Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно три общие точки с графиком функции, значение \( m \) должно быть равно \( \frac{25}{4} \) (это максимум параболы, открывающейся вниз). То есть \( m \) должно быть меньше \( \frac{25}{4} \) и одновременно пересекать параболу, открывающуюся вверх. Таким образом, прямая \( y = m \) с графиком функции \( y = |x^2 - x - 6| \) имеет ровно три общие точки, когда: \[ m < \frac{25}{4} \] и \( m \) должно быть больше или равно минимуму на параболе, чтобы не пересекать его в двух местах (это отрицательное значение). ### Заключение Прямая \( y = m \) будет иметь ровно три точки пересечения с графиком \( y = |x^2 - x - 6| \), если \( m \) находится в интервале: \[ m \in \left(-\infty, -6\right) \cup \left(-6, \frac{25}{4}\right) \]