Дан треугольник ABC AC=BC=4 , sin B =3√11/10 , найти AB
Чтобы решить задачу, нам нужно найти длину стороны \( AB \) треугольника \( ABC \), зная, что \( AC = BC = 4 \) и \( \sin B = \frac{3\sqrt{11}}{10} \).
Обозначим стороны и угол:
- Пусть \( AB = c \), \( AC = b = 4 \), \( BC = a = 4 \).
- Угол \( B \) - это угол между сторонами \( AC \) и \( BC \).
Используем формулу синуса: Для треугольника можем воспользоваться формулой синуса:\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Здесь мы можем найти сторону \( c \) (или \( AB \)), если найдём угол \( A \) или \( C \).
Находим угол \( A \): По определению синуса, мы знаем, что: \[ \sin B = \frac{3\sqrt{11}}{10} \]
Находим сторону \( c \) через закон косинусов: По закону косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos B \] Здесь \( a = 4 \), \( b = 4 \) и для нахождения \( \cos B \) используем обратное значение синуса: \[ \sin^2 B + \cos^2 B = 1 \] \[ \cos^2 B = 1 - \sin^2 B = 1 - \left(\frac{3\sqrt{11}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{99}{100} = \frac{1}{100} \] Следовательно, \[ \cos B = \frac{1}{10} \]
Теперь подставляем в закон косинусов: \[ c^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{10} \] \[ c^2 = 16 + 16 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{10} \] \[ c^2 = 32 - \frac{32}{10} = 32 - 3.2 = 28.8 \] \[ c = \sqrt{28.8} = \sqrt{288/10} = 4\sqrt{7.2}/3 \]
Вывод: \( AB = c = \sqrt{28.8} \approx 5.37 \), или же точный вид - это значение корня, так что длина стороны \( AB \) равна примерно \( 5.37 \).
Таким образом, длина стороны \( AB \) равна \( \sqrt{28.8} \).
