интеграл
Давайте рассмотрим и решим некоторые из представленных интегралов.
Вариант 20
- \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} 10 \sin x \, dx\)
Решение:
Интеграл функции \(\sin x\) равен \(-\cos x\). Следовательно:
\[ \int 10 \sin x \, dx = 10 \int \sin x \, dx = -10 \cos x + C \]
Теперь подставим пределы интегрирования:
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} 10 \sin x \, dx = \left[-10 \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = -10 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 10 \cos(0) \]
Подставим значения \(\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\cos(0) = 1\):
\[ = -10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 10 \cdot 1 = -5\sqrt{2} + 10 \]
Итак, ответ: \(-5\sqrt{2} + 10\).
- \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{10}{\cos^2 x} \, dx\)
Решение:
Здесь \(\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x\), и интеграл от \(\sec^2 x\) равен \(\tan x\):
\[ \int \frac{10}{\cos^2 x} \, dx = 10 \int \sec^2 x \, dx = 10 \tan x + C \]
Подставим пределы интегрирования:
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{10}{\cos^2 x} \, dx = \left[10 \tan x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = 10 \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - 10 \tan(0) \]
Значения: \(\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\) и \(\tan(0) = 0\):
\[ = 10 \cdot 1 - 10 \cdot 0 = 10 \]
Итак, ответ: \(10\).
- \(\int_0^1 (12 - x^3) \, dx\)
Решение:
Разделим интеграл на две части:
\[ \int (12 - x^3) \, dx = \int 12 \, dx - \int x^3 \, dx \]
Первый интеграл:
\[ \int 12 \, dx = 12x + C \]
Второй интеграл:
\[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C \]
Подставляем пределы интегрирования:
\[ \int_0^1 (12 - x^3) \, dx = \left[12x - \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \left(12 \cdot 1 - \frac{1^4}{4}\right) - \left(12 \cdot 0 - \frac{0^4}{4}\right) \]
\[ = 12 - \frac{1}{4} = \frac{48}{4} - \frac{1}{4} = \frac{47}{4} \]
Итак, ответ: \(\frac{47}{4}\).
Если у вас есть вопросы или требуется помощь с другими интегралами, пожалуйста, дайте знать!
