Интеграл

Давайте рассмотрим и решим некоторые из представленных интегралов. ### Вариант 20 1. \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} 10 \sin x \, dx\) #### Решение: Интеграл функции \(\sin x\) равен \(-\cos x\). Следовательно: \[ \int 10 \sin x \, dx = 10 \int \sin x \, dx = -10 \cos x + C \] Теперь подставим пределы интегрирования: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} 10 \sin x \, dx = \left[-10 \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = -10 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 10 \cos(0) \] Подставим значения \(\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\cos(0) = 1\): \[ = -10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 10 \cdot 1 = -5\sqrt{2} + 10 \] Итак, ответ: \(-5\sqrt{2} + 10\). --- 2. \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{10}{\cos^2 x} \, dx\) #### Решение: Здесь \(\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x\), и интеграл от \(\sec^2 x\) равен \(\tan x\): \[ \int \frac{10}{\cos^2 x} \, dx = 10 \int \sec^2 x \, dx = 10 \tan x + C \] Подставим пределы интегрирования: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{10}{\cos^2 x} \, dx = \left[10 \tan x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = 10 \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - 10 \tan(0) \] Значения: \(\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\) и \(\tan(0) = 0\): \[ = 10 \cdot 1 - 10 \cdot 0 = 10 \] Итак, ответ: \(10\). --- 3. \(\int_0^1 (12 - x^3) \, dx\) #### Решение: Разделим интеграл на две части: \[ \int (12 - x^3) \, dx = \int 12 \, dx - \int x^3 \, dx \] Первый интеграл: \[ \int 12 \, dx = 12x + C \] Второй интеграл: \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C \] Подставляем пределы интегрирования: \[ \int_0^1 (12 - x^3) \, dx = \left[12x - \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \left(12 \cdot 1 - \frac{1^4}{4}\right) - \left(12 \cdot 0 - \frac{0^4}{4}\right) \] \[ = 12 - \frac{1}{4} = \frac{48}{4} - \frac{1}{4} = \frac{47}{4} \] Итак, ответ: \(\frac{47}{4}\). Если у вас есть вопросы или требуется помощь с другими интегралами, пожалуйста, дайте знать!