интеграл

Чтобы понять решение этих интегралов, разберём каждый из них по отдельности. Здесь мы имеем несколько определённых интегралов, и для их решения будем использовать основные правила интегрирования и подстановки.

1) \(\int_{-2}^{1} (6x^2 - 2x) \, dx\)

1. Найти первообразную: \[ \int (6x^2 - 2x) \, dx = \int 6x^2 \, dx - \int 2x \, dx = 2x^3 - x^2 + C \]

2. Подставить пределы: \[ \left[ 2x^3 - x^2 \right]_{-2}^{1} = \left( 2(1)^3 - (1)^2 \right) - \left( 2(-2)^3 - (-2)^2 \right) \]

3. Вычислить: \[ = (2 - 1) - (-16 - 4) = 1 + 20 = 21 \]

2) \(\int_{0}^{3} (12 - x^3) \, dx\)

1. Найти первообразную: \[ \int (12 - x^3) \, dx = \int 12 \, dx - \int x^3 \, dx = 12x - \frac{x^4}{4} + C \]

2. Подставить пределы: \[ \left[ 12x - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{3} = \left( 12(3) - \frac{3^4}{4} \right) - \left( 12(0) - \frac{0^4}{4} \right) \]

3. Вычислить: \[ = (36 - 20.25) - 0 = 15.75 \]

3) \(\int_{-1}^{1} (4x^3 + x - 5) \, dx\)

1. Найти первообразную: \[ \int (4x^3 + x - 5) \, dx = \int 4x^3 \, dx + \int x \, dx - \int 5 \, dx = x^4 + \frac{x^2}{2} - 5x + C \]

2. Подставить пределы: \[ \left[ x^4 + \frac{x^2}{2} - 5x \right]_{-1}^{1} = \left( 1^4 + \frac{1^2}{2} - 5(1) \right) - \left( (-1)^4 + \frac{(-1)^2}{2} - 5(-1) \right) \]

3. Вычислить: \[ = (1 + 0.5 - 5) - (1 + 0.5 + 5) = -3.5 - 6.5 = -10 \]

4) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{10 \, dx}{\cos^2 x}\)

1. Использовать замещение: \[ \frac{1}{\cos^2 x} = \tan^2 x \] Поэтому: \[ \int \frac{10}{\cos^2 x} \, dx = \int 10 \tan^2 x \, dx = 10 \int \sec^2 x \, dx = 10 \tan x + C \]

2. Подставить пределы: \[ \left[ 10 \tan x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 10 \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - 10 \tan(0) \]

3. Вычислить: \[ = 10 \cdot 1 - 10 \cdot 0 = 10 \]

5) \(\int_{1}^{4} \frac{dx}{(x-11)^2}\)

1. Использовать формулу для интегрирования функции: \[ \int \frac{dx}{(x-a)^2} = -\frac{1}{x-a} + C \]

2. Найти первообразную: \[ \int \frac{dx}{(x-11)^2} = -\frac{1}{x-11} + C \]

3. Подставить пределы: \[ \left[ -\frac{1}{x-11} \right]_{1}^{4} = \left(-\frac{1}{4-11}\right) - \left(-\frac{1}{1-11}\right) \]

4. Вычислить: \[ = \left(-\frac{1}{-7}\right) - \left(-\frac{1}{-10}\right) = \frac{1}{7} - \frac{1}{10} = \frac{10}{70} - \frac{7}{70} = \frac{3}{70} \]

Таким образом, решения всех интегралов представлены подробно с пошаговыми объяснениями.