Постройте график функции ！= -х^2+ 8х - 17, если х ≥ 2; -х - 2, если х < 2. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Давайте начнем с построения графика функции \( y \):

1. Для \( x \geq 2 \): Функция определяется как \( y = -x^2 + 8x - 17 \). Это квадратная функция, которая открывается вниз. Чтобы нарисовать график, найдем вершину параболы. Вершина квадратной функции \( ax^2 + bx + c \) находится по координате \( x = -\frac{b}{2a} \).

   Здесь \( a = -1, b = 8 \): \[ x_{вершины} = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = 4 \]

   Теперь подставим \( x = 4 \) в уравнение, чтобы найти \( y \): \[ y = -4^2 + 8 \cdot 4 - 17 = -16 + 32 - 17 = -1 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (4, -1) \).

   Следующие шаги:

   • Найдем значения функции в границах определенной области (например, при \( x = 2 \) и \( x = 6 \)):
     • \( x = 2 \): \( y = -2^2 + 8 \cdot 2 - 17 = -4 + 16 - 17 = -5 \)
     • \( x = 6 \): \( y = -6^2 + 8 \cdot 6 - 17 = -36 + 48 - 17 = -5 \)

   Таким образом, у нас есть следующие точки: \( (2, -5) \), \( (4, -1) \), \( (6, -5) \).

2. Для \( x < 2 \): Здесь функция задана как \( y = -x - 2 \). Это линейная функция с отрицательным наклоном. Найдем точку, где она пересекает линию \( y \) при \( x = 2 \): \[ y = -2 - 2 = -4 \]

   Таким образом, точка пересечения: \( (2, -4) \).

Теперь мы можем построить график.

• Для \( x \geq 2 \) будет парабола, загибающаяся вниз, с вершиной в \( (4, -1) \).
• Для \( x < 2 \) будет линейная функция, проходящая через точку \( (2, -4) \) и снижающаяся в сторону отрицательных значений.

Определяем значения \( t \) для прямой \( y = t \)

Теперь рассмотрим случай, когда прямая \( y = t \) касается графика функции в двух точках.

1. Для \( x < 2 \):

   • У линейной функции \( y = -x - 2 \) есть одна пересеченная точка при \( y = t \) по формуле: \[ t = -x - 2 \implies x = -t - 2 \] Это уравнение всегда имеет только одну точку пересечения, поскольку прямая не пересекает параболу дважды.

2. Для \( x \geq 2 \):

   • Пересечение с параболой \( y = -x^2 + 8x - 17 \). Найдем условия для двух пересечений: \[ t = -x^2 + 8x - 17 \implies x^2 - 8x + (t + 17) = 0 \] Для того чтобы это уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть положительным: \[ D = b^2 - 4ac = 64 - 4 \cdot 1 \cdot (t + 17) = 64 - 4t - 68 \] \[ D = -4t - 4 \] Условие для наличия двух корней: \[ -4t - 4 > 0 \implies -4t > 4 \implies t < -1 \]

Таким образом, прямая \( y = t \) будет пересекать график функции в двух точках при \( t < -1 \).