Построй график функции { 2 x 2 + 6 x + 3 , x ⩾ − 2 x + 2 , x < − 2 { 2x 2 +6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 и определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две…
Построй график функции { 2 x 2 + 6 x + 3 , x ⩾ − 2 x + 2 , x < − 2 { 2x 2 +6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 и определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. В ответ запиши полученное число и числовой промежуток, без пробелов. Например: 6(-1;10)
Для решения данной задачи будем сначала строить график описанной функции, а затем определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) будет иметь ровно две общие точки с этим графиком.
Шаг 1: Построение графика функции
Функция задана в виде кусочной функции: \[ f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 6x + 3, & x \geq -2 \\ x + 2, & x < -2 \end{cases} \]
1.1: График для \( x \geq -2 \)
Для начала найдем точки, в которых парабола \( y = 2x^2 + 6x + 3 \) принятия значения, так как \( x \) должен быть больше или равен \(-2\).
Нахождение вершины параболы: Вершина параболы для функции вида \( ax^2 + bx + c \) находится по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{2} \]
Так как \( -\frac{3}{2} \) больше \(-2\), значит мы можем находить значение функции в этой точке: \[ f\left(-\frac{3}{2}\right) = 2\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 6\left(-\frac{3}{2}\right) + 3 = 2 \cdot \frac{9}{4} - 9 + 3 = \frac{9}{2} - 9 + 3 = \frac{9}{2} - \frac{18}{2} + \frac{6}{2} = -\frac{3}{2} \] Таким образом, вершина находится в точке \(\left(-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right)\).
Далее, нарисуем сам график этой части функции.
1.2: График для \( x < -2 \)
Для этой части функции: \[ f(x) = x + 2 \] Это линейная функция с угловым коэффициентом 1, которая пересекает ось \( y \) в точке \( (0, 2) \) и имеет наклон.
Найдем значение функции на границе: \[ f(-2) = -2 + 2 = 0 \]
Таким образом, эта часть функции будет представлять собой прямую, которая проходит через точки \((-2, 0)\) и выше.
Шаг 2: Определение значений \( m \)
Теперь нужно найти такие значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) пересекает график функции ровно в двух точках.
Сначала рассмотрим случаи для каждой из частей функции:
Парабола \( y = 2x^2 + 6x + 3 \): Если прямая \( y = m \) пересекает параболу два раза, это происходит, когда дискриминант уравнения \( 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \) положительный. \[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - m) > 0 \] \[ 36 - 8(3 - m) > 0 \implies 36 - 24 + 8m > 0 \implies 8m > -12 \implies m > -\frac{3}{2} \]
Прямолинейная часть \( y = x + 2 \): Эта прямая пересекает \( y = m \) в одной точке \( x = m - 2 \). Для того чтобы обе части пересекались ровно в двух точках, прямая не должна пересекаться с линейной частью (т.е. должна быть выше).
Значит, условие: \[ m < -\frac{3}{2} \]
Итог
Таким образом, мы получаем два условия:
- От параболы: \( m > -\frac{3}{2} \)
- От линейной части: \( m < -\frac{3}{2} \)
Это означает, что значения \( m \) будут находиться на промежутке: \[ -\frac{3}{2} < m < -3 \]
Ответ в виде промежутка: \[ -\frac{3}{2}(-3; -\frac{3}{2}) \]
