Для решения данной задачи будем сначала строить график описанной функции, а затем определим, при каких значениях ( m ) прямая ( y = m ) будет иметь ровно две общие точки с этим графиком.
Шаг 1: Построение графика функции
Функция задана в виде кусочной функции:
[
f(x) =
\begin{cases}
2x^2 + 6x + 3, & x \geq -2 \
x + 2, & x < -2
\end{cases}
]
1.1: График для ( x \geq -2 )
Для начала найдем точки, в которых парабола ( y = 2x^2 + 6x + 3 ) принятия значения, так как ( x ) должен быть больше или равен (-2).
Нахождение вершины параболы:
Вершина параболы для функции вида ( ax^2 + bx + c ) находится по формуле:
[
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{2}
]
Так как ( -\frac{3}{2} ) больше (-2), значит мы можем находить значение функции в этой точке:
[
f\left(-\frac{3}{2}\right) = 2\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 6\left(-\frac{3}{2}\right) + 3
= 2 \cdot \frac{9}{4} - 9 + 3 = \frac{9}{2} - 9 + 3 = \frac{9}{2} - \frac{18}{2} + \frac{6}{2} = -\frac{3}{2}
]
Таким образом, вершина находится в точке (\left(-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right)).
Далее, нарисуем сам график этой части функции.
1.2: График для ( x < -2 )
Для этой части функции:
[
f(x) = x + 2
]
Это линейная функция с угловым коэффициентом 1, которая пересекает ось ( y ) в точке ( (0, 2) ) и имеет наклон.
Найдем значение функции на границе:
[
f(-2) = -2 + 2 = 0
]
Таким образом, эта часть функции будет представлять собой прямую, которая проходит через точки ((-2, 0)) и выше.
Шаг 2: Определение значений ( m )
Теперь нужно найти такие значения ( m ), при которых прямая ( y = m ) пересекает график функции ровно в двух точках.
Сначала рассмотрим случаи для каждой из частей функции:
Парабола ( y = 2x^2 + 6x + 3 ):
Если прямая ( y = m ) пересекает параболу два раза, это происходит, когда дискриминант уравнения ( 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 ) положительный.
[
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - m) > 0
]
[
36 - 8(3 - m) > 0 \implies 36 - 24 + 8m > 0 \implies 8m > -12 \implies m > -\frac{3}{2}
]
Прямолинейная часть ( y = x + 2 ):
Эта прямая пересекает ( y = m ) в одной точке ( x = m - 2 ). Для того чтобы обе части пересекались ровно в двух точках, прямая не должна пересекаться с линейной частью (т.е. должна быть выше).
Значит, условие:
[
m < -\frac{3}{2}
]
Итог
Таким образом, мы получаем два условия:
- От параболы: ( m > -\frac{3}{2} )
- От линейной части: ( m < -\frac{3}{2} )
Это означает, что значения ( m ) будут находиться на промежутке:
[
-\frac{3}{2} < m < -3
]
Ответ в виде промежутка:
[
-\frac{3}{2}(-3; -\frac{3}{2})
]
