Я

Давай разберём решение уравнения \(x^3 - 7x + x^2 - 7 = 0\).

Сначала упростим уравнение: \[x^3 + x^2 - 7x - 7 = 0.\]

Для решения кубического уравнения можно попробовать метод подбора корней, начиная с целых чисел. Обычно используют делители свободного члена, в данном случае это \( \pm 1, \pm 7\).

Попробуем \(x = 1\): \[1^3 + 1^2 - 7 \cdot 1 - 7 = 1 + 1 - 7 - 7 = -12.\] Не подходит.

Попробуем \(x = -1\): \[(-1)^3 + (-1)^2 - 7 \cdot (-1) - 7 = -1 + 1 + 7 - 7 = 0.\] Получилось! Значит, \(x = -1\) — корень уравнения.

Теперь разделим многочлен на \((x + 1)\), чтобы упростить оставшееся:

Выполним деление:

1. Делим первый член \(x^3\) на \(x\), получаем \(x^2\).
2. Умножаем \((x + 1)\) на \(x^2\), получаем \(x^3 + x^2\).
3. Вычитаем из исходного многочлена: \((x^3 + x^2) - (x^3 + x^2) = 0x^3 + 0x^2\), остаётся \(-7x - 7\).
4. Делим \(-7x\) на \(x\), получаем \(-7\).
5. Умножаем \((x + 1)\) на \(-7\), получаем \(-7x - 7\).
6. Вычитаем: \((-7x - 7) - (-7x - 7) = 0\).

Остаток равен нулю, значит, деление корректно: \[x^3 + x^2 - 7x - 7 = (x + 1)(x^2 - 7).\]

Теперь решим \(x^2 - 7 = 0\): \[x^2 = 7,\] \[x = \pm \sqrt{7}.\]

Корни уравнения: \(x = -1\), \(x = \sqrt{7}\), \(x = -\sqrt{7}\).

Найдём сумму корней: \[(-1) + \sqrt{7} - \sqrt{7} = -1.\]

Ответ: \(-1\).