y=2x²-7x+1
Для функции \( y = 2x^2 - 7x + 1 \) мы можем выполнить несколько анализов, таких как нахождение нулей функции, определение координат вершин параболы и исследование свойств графика.
Шаг 1: Нахождение корней (нулей) функции
Корни уравнения можно найти с помощью формулы для квадратного уравнения:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
В нашем случае:
- \( a = 2 \)
- \( b = -7 \)
- \( c = 1 \)
Формула для нахождения корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
где \( D \) — дискриминант, который вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Подставим значения:
\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 49 - 8 = 41 \]
Теперь, когда мы знаем \( D \), можем найти корни:
\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{4} \]
Здесь у нас два корня:
\[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{41}}{4} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 - \sqrt{41}}{4} \]
Шаг 2: Нахождение вершины параболы
Координаты вершины параболы \( y = ax^2 + bx + c \) можно найти по формуле:
\[ x_{вершины} = -\frac{b}{2a} \]
Подставим наши значения:
\[ x_{вершины} = -\frac{-7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4} \]
Теперь найдем координату \( y \):
\[ y_{вершины} = 2\left(\frac{7}{4}\right)^2 - 7\left(\frac{7}{4}\right) + 1 \]
Вычислим это значение шаг за шагом:
- \( \left(\frac{7}{4}\right)^2 = \frac{49}{16} \)
- \( 2 \cdot \frac{49}{16} = \frac{98}{16} = \frac{49}{8} \)
- \( -7 \cdot \frac{7}{4} = -\frac{49}{4} = -\frac{98}{8} \)
- \( y_{вершины} = \frac{49}{8} - \frac{98}{8} + 1 = \frac{49 - 98 + 8}{8} = \frac{-41}{8} \)
Таким образом, вершина параболы находится в точке:
\[ \left(\frac{7}{4}, -\frac{41}{8}\right) \]
Шаг 3: Анализ
- Парабола открыта вверх (так как \( a > 0 \)).
- Вершина в точке \(\left(\frac{7}{4}, -\frac{41}{8}\right)\) является минимальной точкой.
- Корни функции, как мы нашли, могут быть написаны в виде
\(\frac{7 + \sqrt{41}}{4}\) и \(\frac{7 - \sqrt{41}}{4}\).
Заключение
Мы проанализировали функцию \( y = 2x^2 - 7x + 1 \), нашли её корни и вершину, а также определили, что парабола открыта вверх. Если у вас есть дополнительные вопросы по данной теме, не стесняйтесь обращаться!
