Докажи, что четырёхугольник АВСD является прямоугольником, найди его площадь, если А(14; 2), B(18; 6), С(14; 10) и D (10; 6) Доказательство выполни в тетради и самостоятельно проверь в шагах решения.) Ответ: SABCD

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и найти его площадь, следуем следующим шагам: ### Шаг 1: Доказательство, что ABCD — прямоугольник 1. **Координаты вершин:** A(14, 2), B(18, 6), C(14, 10), D(10, 6). 2. **Находим длины сторон:** Рассчитаем длины всех сторон четырёхугольника: - Длина AB: \( AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(18 - 14)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \). - Длина BC: \( BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(14 - 18)^2 + (10 - 6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \). - Длина CD: \( CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2} = \sqrt{(10 - 14)^2 + (6 - 10)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \). - Длина DA: \( DA = \sqrt{(x_A - x_D)^2 + (y_A - y_D)^2} = \sqrt{(14 - 10)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \). 3. **Проверка перпендикулярности:** Для доказательства, что ABCD является прямоугольником, необходимо доказать, что две соседние стороны перпендикулярны. Рассмотрим векторы AB и AD: - Вектор AB: \( \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (18 - 14, 6 - 2) = (4, 4) \). - Вектор AD: \( \vec{AD} = (x_D - x_A, y_D - y_A) = (10 - 14, 6 - 2) = (-4, 4) \). Скаларное произведение векторов AB и AD: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AD} = 4 \cdot (-4) + 4 \cdot 4 = -16 + 16 = 0. \] Если скалярное произведение равно 0, это значит, что векторы перпендикулярны, а следовательно, угол между ними 90 градусов. Это значит, что ABCD – прямоугольник. ### Шаг 2: Найти площадь ABCD Площадь прямоугольника можно найти, используя формулу: \[ S = AB \times AD. \] Так как AB и AD равны (нам удалось показать, что они равны), и длина одной стороны равна \( 4\sqrt{2} \): \[ S = (4\sqrt{2}) \times (4\sqrt{2}) = 16 \cdot 2 = 32. \] ### Ответ: Таким образом, четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и его площадь равна \( S_{ABCD} = 32 \).