сумма двух натуральных чисел равна 28,а сумма квадратов этих чисел равна 394 . найдите эти числа

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Пусть два натуральных числа обозначаются как \( x \) и \( y \).

1. Запишем условия задачи:

• Сумма двух чисел: \[ x + y = 28 \]
• Сумма квадратов этих чисел: \[ x^2 + y^2 = 394 \]

2. Используем первую формулу:

Из первого уравнения можем выразить одно число через другое. Например, выразим \( y \): \[ y = 28 - x \]

3. Подставляем выражение для \( y \) во второе уравнение:

Теперь подставим \( y \) во второе уравнение: \[ x^2 + (28 - x)^2 = 394 \]

4. Раскроем скобки:

\[ x^2 + (28 - x)^2 = x^2 + (28^2 - 2 \cdot 28 \cdot x + x^2) = 394 \] Раскроем квадрат: \[ x^2 + (784 - 56x + x^2) = 394 \] Соберём подобные члены: \[ 2x^2 - 56x + 784 = 394 \]

5. Упростим уравнение:

Переносим 394 в левую часть: \[ 2x^2 - 56x + 784 - 394 = 0 \] Это упрощается до: \[ 2x^2 - 56x + 390 = 0 \]

6. Разделим на 2:

Разделим всё уравнение на 2 для упрощения: \[ x^2 - 28x + 195 = 0 \]

7. Найдём корни уравнения с помощью формулы корней:

Используем формулу корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем уравнении \( a = 1, b = -28, c = 195 \): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 195 = 784 - 780 = 4 \] Так как \( \Delta > 0 \), у нас есть два различных корня: \[ x = \frac{28 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{28 \pm 2}{2} \] Это даёт: \[ x_1 = \frac{30}{2} = 15 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{26}{2} = 13 \]

8. Находим значение \( y \):

Теперь, зная \( x \), найдем \( y \): \[ y = 28 - x \]

Если \( x = 15 \): \[ y = 28 - 15 = 13 \]

Если \( x = 13 \): \[ y = 28 - 13 = 15 \]

9. Ответ:

Таким образом, два натуральных числа равны 15 и 13.

10. Проверка:

Сумма: \[ 15 + 13 = 28 \quad \text{(верно)} \] Сумма квадратов: \[ 15^2 + 13^2 = 225 + 169 = 394 \quad \text{(верно)} \]

Ответ: искомые числа — 15 и 13.