Реши
Для решения задачи рассмотрим данную систему неравенств:
- \( x^2 + (y - 2)^2 \leq 4 \)
- \( y \geq 2.5 \)
Шаг 1: Понимание первого неравенства
Первое неравенство \( x^2 + (y - 2)^2 \leq 4 \) описывает окружность с центром в точке \( (0, 2) \) и радиусом 2, включая внутрь окружности и её границу.
Шаг 2: Понимание второго неравенства
Второе неравенство \( y \geq 2.5 \) описывает область, лежащую выше или на уровне линии \( y = 2.5 \).
Шаг 3: Совместное решение системы
Нам нужно найти пересечение этих двух областей.
- Окружность центрируется в точке \( (0, 2) \) и распространяется на расстояние 2 в каждом направлении, то есть она достигает \( y = 4 \) в верхней части.
- Вторая область начинается с линии \( y = 2.5 \) и тянется вверх.
Поскольку окружность полностью покрыта линией \( y \leq 4 \), а вторая область начинается с \( y = 2.5 \) и идёт выше, мы проверим, какие части окружности затронуты.
Шаг 4: Анализ границы
Рассмотрим границы окружности на уровне линии \( y = 2.5 \).
Если \( y = 2.5 \), то подставляем в первое уравнение:
\[ x^2 + (2.5 - 2)^2 \leq 4 \] \[ x^2 + 0.5^2 \leq 4 \] \[ x^2 + 0.25 \leq 4 \] \[ x^2 \leq 3.75 \]
Это означает, что \( x \) должен находиться в пределах от \(-\sqrt{3.75}\) до \(\sqrt{3.75}\).
Заключение
Пересечение этих двух областей — часть окружности выше линии \( y = 2.5 \), включая её границу.
Таким образом, система имеет бесконечно много решений, так как любой \( x \) в пределах от \(-\sqrt{3.75}\) до \(\sqrt{3.75}\) при \( y \geq 2.5 \) является решением.
