Основания прямоугольной трапеции равны 5 5 и 13 13 . Угол между боковой стороной и одним из оснований равен 13 5 ∘ 135 ∘ . Найди площадь трапеции.
Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, можно воспользоваться формулой:
\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]
где:
- \( S \) — площадь трапеции,
- \( a \) и \( b \) — длины оснований,
- \( h \) — высота трапеции.
В нашем случае основания равны \( a = 5 \) и \( b = 13 \). Угол между боковой стороной и одним из оснований равен \( 135^\circ \). Это значит, что один из углов между боковыми сторонами и основаниями прямоугольной трапеции равен \( 45^\circ \), так как сумма углов на прямой линии равна \( 180^\circ \) (т.е. \( 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \)).
Теперь мы найдем высоту \( h \) на основе этого угла. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковой стороной и частью основания, мы можем использовать тригонометрические функции. В частности, если мы считаем, что \( h \) — это противолежащая сторона, и расстояние от конца основания до перпендикуляра — это прилежащая сторона, можем воспользоваться тангенсом угла:
\[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{x} \]
где \( x \) — горизонтальная проекция на одну из боковых сторон. Поскольку \( \tan(45^\circ) = 1 \), получаем:
\[ h = x \]
Также, учитывая, что \( x = 13 - 5 = 8 \) (разность оснований, из-за прямолинейного свойства трапеции), мы можем найти высоту. Но поскольку \( x \) не у нас в наличии, придём к другому пути.
Если мы сделаем следующее — из правого треугольника с углом \( 45^\circ \), мы можем выразить высоту как:
\[ h = x \cdot \tan(45^\circ) = x \]
Так как \( x = h \), и у нас есть разность оснований, где \( 5 + 2h = 13 \), мы можем решить уравнение:
\[ 2h = 13 - 5 \] \[ 2h = 8 \] \[ h = 4 \]
Теперь мы знаем высоту \( h \) — 4. Теперь подставляем в формулу для площади:
\[ S = \frac{(5 + 13) \cdot 4}{2} \] \[ S = \frac{18 \cdot 4}{2} \] \[ S = \frac{72}{2} \] \[ S = 36 \]
Таким образом, площадь трапеции равна \( 36 \) квадратных единиц.
