Рождественские эльфы кладут подарки в мешочки. Сначала они положили их по 8 штук в каждый мешочек, потом по 9 и затем по 10. И каждый раз оставался один подарок. Тогда эльфы…
Рождественские эльфы кладут подарки в мешочки. Сначала они положили их по 8 штук в каждый мешочек, потом по 9 и затем по 10. И каждый раз оставался один подарок. Тогда эльфы решили положить по 11 подарков и тогда лишних не осталось. Сколько подарков они разложили по мешочкам, если известно, что подарков было не более 2024,
Для решения данной задачи воспользуемся методом подбора и системой модульных уравнений.
Обозначим количество подарков за \( N \). У нас есть следующие условия:
При делении \( N \) на 8, 9 и 10 остается по 1 подарку: \[ N \equiv 1 \pmod{8} \] \[ N \equiv 1 \pmod{9} \] \[ N \equiv 1 \pmod{10} \]
При делении \( N \) на 11 подарков не остается: \[ N \equiv 0 \pmod{11} \]
Поиск общего решения
Первое, что заметим, что у нас есть три одинаковых условия, где каждый раз остается по 1. Это значит, что \( N - 1 \) делится на 8, 9 и 10. Запишем это:
\[ N - 1 = k \cdot \text{LCM}(8, 9, 10) \]
Где \( k \) — целое число, а \(\text{LCM}\) (наименьшее общее кратное) нужно вычислить.
Находим наименьшее общее кратное:
- \( \text{LCM}(8, 9) = 72 \),
- \( \text{LCM}(72, 10) = 360 \).
Таким образом, мы можем записать:
\[ N - 1 = k \cdot 360 \] или \[ N = k \cdot 360 + 1. \]
Теперь нам нужно, чтобы это \( N \) делилось на 11:
\[ k \cdot 360 + 1 \equiv 0 \pmod{11}. \]
Начнем с нахождения \( 360 \mod 11 \):
\[ 360 \div 11 = 32 \quad \text{(целая часть)} \] \[ 360 - 32 \cdot 11 = 360 - 352 = 8 \Longrightarrow 360 \equiv 8 \pmod{11}. \]
Таким образом, у нас есть уравнение:
\[ 8k + 1 \equiv 0 \pmod{11}. \] или \[ 8k \equiv -1 \equiv 10 \pmod{11}. \]
Теперь нужно найти обратный элемент 8 по модулю 11. Проверим значения \( k \):
- \( k = 1 \Rightarrow 8 \cdot 1 \equiv 8 \)
- \( k = 2 \Rightarrow 8 \cdot 2 \equiv 5 \)
- \( k = 3 \Rightarrow 8 \cdot 3 \equiv 2 \)
- \( k = 4 \Rightarrow 8 \cdot 4 \equiv 10 \)
Таким образом, \( k \equiv 4 \pmod{11} \), значит:
\[ k = 4 + 11m \quad \text{(где \( m \) — любое целое число)}. \]
Подставляем назад и находим \( N \)
Теперь подставляем обратно:
\[ N = (4 + 11m) \cdot 360 + 1. \] Раскрываем:
\[ N = 1440 + 3960m + 1 = 1441 + 3960m. \]
Теперь ограничим \( N \) по условию задачи: \( N \leq 2024 \).
Решим неравенство:
\[ 1441 + 3960m \leq 2024. \] \[ 3960m \leq 2024 - 1441, \] \[ 3960m \leq 583. \]
Так как \( 3960 \) — это большая величина, то \( m \) может быть только 0:
\[ m = 0 \Rightarrow N = 1441 + 0 = 1441. \]
Ответ
Итак, количество подарков, которые разложили эльфы, составляет 1441.
