Для решения данной задачи воспользуемся методом подбора и системой модульных уравнений.
Обозначим количество подарков за ( N ). У нас есть следующие условия:
При делении ( N ) на 8, 9 и 10 остается по 1 подарку:
[
N \equiv 1 \pmod{8}
]
[
N \equiv 1 \pmod{9}
]
[
N \equiv 1 \pmod{10}
]
При делении ( N ) на 11 подарков не остается:
[
N \equiv 0 \pmod{11}
]
Поиск общего решения
Первое, что заметим, что у нас есть три одинаковых условия, где каждый раз остается по 1. Это значит, что ( N - 1 ) делится на 8, 9 и 10. Запишем это:
[
N - 1 = k \cdot \text{LCM}(8, 9, 10)
]
Где ( k ) — целое число, а (\text{LCM}) (наименьшее общее кратное) нужно вычислить.
Находим наименьшее общее кратное:
- ( \text{LCM}(8, 9) = 72 ),
- ( \text{LCM}(72, 10) = 360 ).
Таким образом, мы можем записать:
[
N - 1 = k \cdot 360
]
или
[
N = k \cdot 360 + 1.
]
Теперь нам нужно, чтобы это ( N ) делилось на 11:
[
k \cdot 360 + 1 \equiv 0 \pmod{11}.
]
Начнем с нахождения ( 360 \mod 11 ):
[
360 \div 11 = 32 \quad \text{(целая часть)}
]
[
360 - 32 \cdot 11 = 360 - 352 = 8 \Longrightarrow 360 \equiv 8 \pmod{11}.
]
Таким образом, у нас есть уравнение:
[
8k + 1 \equiv 0 \pmod{11}.
]
или
[
8k \equiv -1 \equiv 10 \pmod{11}.
]
Теперь нужно найти обратный элемент 8 по модулю 11. Проверим значения ( k ):
- ( k = 1 \Rightarrow 8 \cdot 1 \equiv 8 )
- ( k = 2 \Rightarrow 8 \cdot 2 \equiv 5 )
- ( k = 3 \Rightarrow 8 \cdot 3 \equiv 2 )
- ( k = 4 \Rightarrow 8 \cdot 4 \equiv 10 )
Таким образом, ( k \equiv 4 \pmod{11} ), значит:
[
k = 4 + 11m \quad \text{(где ( m ) — любое целое число)}.
]
Подставляем назад и находим ( N )
Теперь подставляем обратно:
[
N = (4 + 11m) \cdot 360 + 1.
]
Раскрываем:
[
N = 1440 + 3960m + 1 = 1441 + 3960m.
]
Теперь ограничим ( N ) по условию задачи: ( N \leq 2024 ).
Решим неравенство:
[
1441 + 3960m \leq 2024.
]
[
3960m \leq 2024 - 1441,
]
[
3960m \leq 583.
]
Так как ( 3960 ) — это большая величина, то ( m ) может быть только 0:
[
m = 0 \Rightarrow N = 1441 + 0 = 1441.
]
Ответ
Итак, количество подарков, которые разложили эльфы, составляет 1441.
