Спускаемый аппарат массой 2900 кг с космонавтами на борту отсоединился от международной космической станции (МКС), находящейся на высоте 400 км над поверхностью Земли. Какая масса…
Спускаемый аппарат массой 2900 кг с космонавтами на борту отсоединился от международной космической станции (МКС), находящейся на высоте 400 км над поверхностью Земли. Какая масса сгоревшего топлива маршевого двигателя должна вылететь из его сопла, чтобы скорость спускаемого аппарата уменьшилась на 1%? Временем вылета продуктов горения из сопла можно пренебречь. Ускорение свободного падения на орбите МКС равно 8,63 м/с2. Радиус Земли равен 6400 км. Скорость истечения раскаленных газов из сопла равна 3 км/с. Ответ укажите в СИ и округлите до десятых.
Для решения задачи используем закон сохранения импульса и основное уравнение для изменения скорости в результате выброса вещества, известное как уравнение Тициаля:
\[ \Delta v = v_e \cdot \ln\left(\frac{m_0}{m_f}\right) \]
где:
- \(\Delta v\) — изменение скорости аппарата,
- \(v_e\) — скорость истечения газов из сопла (в данном случае 3 км/с или 3000 м/с),
- \(m_0\) — начальная масса аппарата (2900 кг),
- \(m_f\) — конечная масса аппарата после сгорания топлива.
Для начала найдем значение \(\Delta v\) (уменьшение скорости на 1% от текущей скорости). Сначала нужно рассчитать текущую скорость аппарата на орбите. На низкой орбите она может быть приблизительно равна:
\[ v = \sqrt{g \cdot R} \]
где:
- \(g\) — ускорение свободного падения (8.63 м/с²),
- \(R\) — радиус Земли плюс высота орбиты (6400 км + 400 км = 6800 км = 6800000 м).
Теперь можем рассчитать скорость:
\[ v = \sqrt{8.63 \, \text{м/с}^2 \cdot 6800000 \, \text{м}} \approx \sqrt{58884000} \approx 7662.4 \, \text{м/с} \]
Теперь из этой скорости находим 1%:
\[ \Delta v = 0.01 \cdot v \approx 0.01 \cdot 7662.4 \approx 76.6 \, \text{м/с} \]
Теперь подставим всё в уравнение Тициаля:
\[ 76.6 = 3000 \cdot \ln\left(\frac{2900}{m_f}\right) \]
Делим обе стороны на 3000:
\[ \frac{76.6}{3000} = \ln\left(\frac{2900}{m_f}\right) \]
\[ 0.02553 = \ln\left(\frac{2900}{m_f}\right) \]
Чтобы избавиться от логарифма, применим экспоненту:
\[ e^{0.02553} = \frac{2900}{m_f} \]
Рассчитаем \(e^{0.02553}\):
\[ e^{0.02553} \approx 1.0259 \]
Теперь подставим значение назад в уравнение:
\[ 1.0259 = \frac{2900}{m_f} \]
Теперь выразим \(m_f\):
\[ m_f = \frac{2900}{1.0259} \approx 2822.0 \, \text{кг} \]
Теперь найдем массу сгоревшего топлива (масса потерянного топлива):
\[ m_{fuel} = m_0 - m_f = 2900 - 2822 \approx 78.0 \, \text{кг} \]
Таким образом, масса сгоревшего топлива маршевого двигателя, которая необходима для уменьшения скорости спускаемого аппарата на 1%, составляет
\[ \boxed{78.0} \text{ кг}. \]
