Для решения задачи используем закон сохранения импульса и основное уравнение для изменения скорости в результате выброса вещества, известное как уравнение Тициаля:
[
\Delta v = v_e \cdot \ln\left(\frac{m_0}{m_f}\right)
]
где:
- (\Delta v) — изменение скорости аппарата,
- (v_e) — скорость истечения газов из сопла (в данном случае 3 км/с или 3000 м/с),
- (m_0) — начальная масса аппарата (2900 кг),
- (m_f) — конечная масса аппарата после сгорания топлива.
Для начала найдем значение (\Delta v) (уменьшение скорости на 1% от текущей скорости). Сначала нужно рассчитать текущую скорость аппарата на орбите. На низкой орбите она может быть приблизительно равна:
[
v = \sqrt{g \cdot R}
]
где:
- (g) — ускорение свободного падения (8.63 м/с²),
- (R) — радиус Земли плюс высота орбиты (6400 км + 400 км = 6800 км = 6800000 м).
Теперь можем рассчитать скорость:
[
v = \sqrt{8.63 , \text{м/с}^2 \cdot 6800000 , \text{м}} \approx \sqrt{58884000} \approx 7662.4 , \text{м/с}
]
Теперь из этой скорости находим 1%:
[
\Delta v = 0.01 \cdot v \approx 0.01 \cdot 7662.4 \approx 76.6 , \text{м/с}
]
Теперь подставим всё в уравнение Тициаля:
[
76.6 = 3000 \cdot \ln\left(\frac{2900}{m_f}\right)
]
Делим обе стороны на 3000:
[
\frac{76.6}{3000} = \ln\left(\frac{2900}{m_f}\right)
]
[
0.02553 = \ln\left(\frac{2900}{m_f}\right)
]
Чтобы избавиться от логарифма, применим экспоненту:
[
e^{0.02553} = \frac{2900}{m_f}
]
Рассчитаем (e^{0.02553}):
[
e^{0.02553} \approx 1.0259
]
Теперь подставим значение назад в уравнение:
[
1.0259 = \frac{2900}{m_f}
]
Теперь выразим (m_f):
[
m_f = \frac{2900}{1.0259} \approx 2822.0 , \text{кг}
]
Теперь найдем массу сгоревшего топлива (масса потерянного топлива):
[
m_{fuel} = m_0 - m_f = 2900 - 2822 \approx 78.0 , \text{кг}
]
Таким образом, масса сгоревшего топлива маршевого двигателя, которая необходима для уменьшения скорости спускаемого аппарата на 1%, составляет
[
\boxed{78.0} \text{ кг}.
]
