Для решения задачи, которая касается вероятности отказа узлов в приборе, воспользуемся распределением Бернулли. Данная задача подходит для применения биноминального распределения, так как вероятность отказа каждого узла независима, а нам необходимо вычислить вероятность того, что из 10 узлов выйдут из строя ровно 4.
Дано:
- Общее количество узлов (n) = 10
- Вероятность безотказной работы узла (p) = 0.8
- Вероятность отказа узла (q) = 1 - p = 0.2
- Количество узлов, которые должны выйти из строя (k) = 4
Формула биноминального распределения:
Вероятность того, что из n испытаний k окажутся успешными (в данном случае - узлы выйдут из строя) можно вычислить по формуле:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{n - k} \cdot q^k
]
где:
- (C(n, k)) - биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле (C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!});
- (p) - вероятность успешного исхода (в данном случае - не выхода из строя узла);
- (q) - вероятность неуспешного исхода (в данном случае - выхода из строя узла).
Теперь подставим имеющиеся данные:
Выбор биномиального коэффициента:
[
C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10 - 4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210
]
Подставляем значения p и q:
Теперь подставим значения в основное уравнение:
[
P(X = 4) = C(10, 4) \cdot p^{10 - 4} \cdot q^4
]
[
= 210 \cdot (0.8)^6 \cdot (0.2)^4
]
Вычисляем (p^{10-4} = p^6) и (q^4):
[
(0.8)^6 = 0.262144
]
[
(0.2)^4 = 0.0016
]
Теперь объединяем все:
[
P(X = 4) = 210 \cdot 0.262144 \cdot 0.0016
]
[
= 210 \cdot 0.0004194304 \approx 0.0882
]
Таким образом, искомая вероятность того, что за время t откажут ровно 4 узла, составляет примерно 0.0882 или 8.82%.
Вывод: Вероятность того, что из 10 узлов выйдут из строя ровно 4, равна примерно 8.82%.
