Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время 1 равна р = 0.8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность…

Для решения задачи, которая касается вероятности отказа узлов в приборе, воспользуемся распределением Бернулли. Данная задача подходит для применения биноминального распределения, так как вероятность отказа каждого узла независима, а нам необходимо вычислить вероятность того, что из 10 узлов выйдут из строя ровно 4.

Дано:

• Общее количество узлов (n) = 10
• Вероятность безотказной работы узла (p) = 0.8
• Вероятность отказа узла (q) = 1 - p = 0.2
• Количество узлов, которые должны выйти из строя (k) = 4

Формула биноминального распределения: Вероятность того, что из n испытаний k окажутся успешными (в данном случае - узлы выйдут из строя) можно вычислить по формуле:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{n - k} \cdot q^k \]

где:

• \(C(n, k)\) - биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}\);
• \(p\) - вероятность успешного исхода (в данном случае - не выхода из строя узла);
• \(q\) - вероятность неуспешного исхода (в данном случае - выхода из строя узла).

Теперь подставим имеющиеся данные:

1. Выбор биномиального коэффициента: \[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10 - 4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

2. Подставляем значения p и q:

• \(p = 0.8\)
• \(q = 0.2\)

Теперь подставим значения в основное уравнение:

\[ P(X = 4) = C(10, 4) \cdot p^{10 - 4} \cdot q^4 \] \[ = 210 \cdot (0.8)^6 \cdot (0.2)^4 \]

3. Вычисляем \(p^{10-4} = p^6\) и \(q^4\): \[ (0.8)^6 = 0.262144 \] \[ (0.2)^4 = 0.0016 \]

4. Теперь объединяем все: \[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.262144 \cdot 0.0016 \] \[ = 210 \cdot 0.0004194304 \approx 0.0882 \]

Таким образом, искомая вероятность того, что за время t откажут ровно 4 узла, составляет примерно 0.0882 или 8.82%.

Вывод: Вероятность того, что из 10 узлов выйдут из строя ровно 4, равна примерно 8.82%.