Давайте решим каждую задачу по очереди, начиная с первой.
Задача 2: Найдите длину наибольшей стороны прямоугольника
Условие: Одна сторона прямоугольника в 5 раз длиннее другой, а периметр равен 144 см.
Решение:
Обозначим короткую сторону прямоугольника за ( x ) см. Тогда длинная сторона будет ( 5x ) см, так как она в 5 раз длиннее.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:
[
P = 2 \times (длина + ширина)
]
Подставим значения:
[
144 = 2 \times (x + 5x)
]
Это упрощается до:
[
144 = 2 \times 6x
]
[
144 = 12x
]
Чтобы найти ( x ), разделим обе стороны на 12:
[
x = \frac{144}{12} = 12
]
Теперь найдем длину наибольшей стороны:
[
5x = 5 \times 12 = 60 \text{ см}
]
Таким образом, длина наибольшей стороны прямоугольника составляет 60 см.
Задача 3: Решите систему уравнений
Так как в задаче не указаны конкретные уравнения, давайте создадим пример.
Пример системы уравнений:
[
\begin{cases}
2x + 3y = 12 \
x - y = 1
\end{cases}
]
а) Метод подстановки
Из второго уравнения выразим ( x ):
[
x = y + 1
]
Подставим это значение в первое уравнение:
[
2(y + 1) + 3y = 12
]
Раскроем скобки:
[
2y + 2 + 3y = 12
]
Объединим подобные:
[
5y + 2 = 12
]
Выразим ( y ):
[
5y = 12 - 2 \
5y = 10 \
y = 2
]
Подставим ( y ) обратно, чтобы найти ( x ):
[
x = 2 + 1 = 3
]
Таким образом, решение системы: ( x = 3, y = 2 ).
б) Метод сложения
Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты перед ( y ) стали одинаковыми:
[
3(x - y) = 3 \
3x - 3y = 3
]
Теперь у нас есть новая система:
[
\begin{cases}
2x + 3y = 12 \
3x - 3y = 3
\end{cases}
]
Сложим два уравнения:
[
(2x + 3y) + (3x - 3y) = 12 + 3 \
5x = 15 \
x = 3
]
Подставим значение ( x ) во второе уравнение:
[
3 - y = 1 \
y = 2
]
Таким образом, решение системы: ( x = 3, y = 2 ).
Задача 4: Сколько было коробок каждого вида?
Условие: 83 подарка были упакованы в большие и маленькие коробки. В большие коробки помещается по 8 подарков, а в маленькие — по 5. Всего использовали 13 коробок.
Решение:
Обозначим количество больших коробок за ( x ), а количество маленьких коробок за ( y ).
Мы имеем две уравнения:
[
\begin{cases}
x + y = 13 \
8x + 5y = 83
\end{cases}
]
Из первого уравнения выразим ( y ):
[
y = 13 - x
]
Подставим это значение во второе уравнение:
[
8x + 5(13 - x) = 83
]
Раскроем скобки:
[
8x + 65 - 5x = 83
]
Объединим подобные:
[
3x + 65 = 83
]
Выразим ( x ):
[
3x = 83 - 65 \
3x = 18 \
x = 6
]
Теперь найдем ( y ):
[
y = 13 - 6 = 7
]
Таким образом, в наличии 6 больших коробок и 7 маленьких коробок.
