Пусть А — множество делителей числа 15, В - множество простых чисел, меньших 12, С - множество чётных чисел, меньших 10, причём, множества А, В, С состоят из натуральных чисел. Найдите все числа, являющиеся элементами множества (AUC)^B.

Для решения этой задачи начнем с определения множеств \( A \), \( B \) и \( C \). ### Шаг 1: Находим множество \( A \) Множество \( A \) — это множество делителей числа 15. Делителями числа 15 являются: - 1 (1 × 15) - 3 (3 × 5) - 5 (5 × 3) - 15 (15 × 1) Таким образом, множество \( A \) равно: \[ A = \{1, 3, 5, 15\} \] ### Шаг 2: Находим множество \( B \) Множество \( B \) — это множество простых чисел, меньших 12. Простые числа — это числа, имеющие ровно два делителя: 1 и само число. Простые числа меньше 12: - 2 - 3 - 5 - 7 - 11 Следовательно, множество \( B \) равно: \[ B = \{2, 3, 5, 7, 11\} \] ### Шаг 3: Находим множество \( C \) Множество \( C \) — это множество четных чисел, меньших 10. Четные числа меньше 10: - 2 - 4 - 6 - 8 Таким образом, множество \( C \) равно: \[ C = \{2, 4, 6, 8\} \] ### Шаг 4: Находим объединение \( A \cup C \) Теперь найдём объединение множеств \( A \) и \( C \): \[ A \cup C = \{1, 3, 5, 15\} \cup \{2, 4, 6, 8\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 15\} \] ### Шаг 5: Находим \( (A \cup C)^B \) Теперь нужно найти все числа, которые являются элементами \( (A \cup C)^B \), что значит, нам нужно взять все элементы из множества \( A \cup C \) и возвести их в степени, указанные в множестве \( B \). Рассмотрим, какие элементы могут появиться при возведении в степени 2, 3, 5, 7 и 11: - Для \( 1 \): - \( 1^2 = 1 \) - \( 1^3 = 1 \) - \( 1^5 = 1 \) - \( 1^7 = 1 \) - \( 1^{11} = 1 \) - Для \( 2 \): - \( 2^2 = 4 \) - \( 2^3 = 8 \) - \( 2^5 = 32 \) - \( 2^7 = 128 \) - \( 2^{11} = 2048 \) - Для \( 3 \): - \( 3^2 = 9 \) - \( 3^3 = 27 \) - \( 3^5 = 243 \) - \( 3^7 = 2187 \) - \( 3^{11} = 177147 \) - Для \( 4 \): - \( 4^2 = 16 \) - \( 4^3 = 64 \) - \( 4^5 = 1024 \) - \( 4^7 = 16384 \) - \( 4^{11} = 4194304 \) - Для \( 5 \): - \( 5^2 = 25 \) - \( 5^3 = 125 \) - \( 5^5 = 3125 \) - \( 5^7 = 78125 \) - \( 5^{11} = 48828125 \) - Для \( 6 \): - \( 6^2 = 36 \) - \( 6^3 = 216 \) - \( 6^5 = 7776 \) - \( 6^7 = 279936 \) - \( 6^{11} = 362797056 \) - Для \( 8 \): - \( 8^2 = 64 \) - \( 8^3 = 512 \) - \( 8^5 = 32768 \) - \( 8^7 = 2097152 \) - \( 8^{11} = 2147483648 \) - Для \( 15 \): - \( 15^2 = 225 \) - \( 15^3 = 3375 \) - \( 15^5 = 759375 \) - \( 15^7 = 170859375 \) - \( 15^{11} = 117288381832590 {{25}} \) ### Итог Соберем все уникальные результаты: \[ \{1, 4, 8, 9, 16, 25, 36, 64, 128, 512, 2048, 64, 216, 7776, 279936, 362797056, 32, 243, 3375, 78125, 48828125, 117288381832590 \} \] Таким образом, множество чисел, являющихся элементами множества \( (A \cup C)^B \), равно: \[ \{1, 4, 8, 9, 16, 25, 32, 36, 64, 128, 2048, 512, 216, 7776, 279936, 362797056, 243, 3375, 78125, 48828125, 117288381832590\} \]