sin3xcos5x=sin7xcos9x Запиши в поле ответа сумму корней, принадлежащих отрезку [ − π 2 ; π 2 ] , [− 2 π ​ ; 2 π ​ ], умноженную на 3 π . π 3 ​ .

Для решения уравнения \( \sin(3x) \cos(5x) = \sin(7x) \cos(9x) \) мы можем использовать тригонометрические преобразования. Давайте рассмотрим каждую часть.

Сначала воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса:

\[ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)] \]

Применяя эту формулу к обеим сторонам уравнения:

1. Левая сторона: \[ \sin(3x) \cos(5x) = \frac{1}{2} [\sin(3x + 5x) + \sin(3x - 5x)] = \frac{1}{2} [\sin(8x) + \sin(-2x)] = \frac{1}{2} [\sin(8x) - \sin(2x)] \]

2. Правая сторона: \[ \sin(7x) \cos(9x) = \frac{1}{2} [\sin(7x + 9x) + \sin(7x - 9x)] = \frac{1}{2} [\sin(16x) + \sin(-2x)] = \frac{1}{2} [\sin(16x) - \sin(2x)] \]

Теперь можем приравнять обе стороны:

\[ \frac{1}{2} [\sin(8x) - \sin(2x)] = \frac{1}{2} [\sin(16x) - \sin(2x)] \]

Умножив обе стороны на 2, получаем:

\[ \sin(8x) - \sin(2x) = \sin(16x) - \sin(2x) \]

Сокращая \( \sin(2x) \) с обеих сторон, получаем:

\[ \sin(8x) = \sin(16x) \]

Теперь перейдем к решению уравнения \( \sin(8x) = \sin(16x) \).

Поскольку синус имеет период \( 2\pi \), мы можем записать:

\[ 8x = 16x + 2k\pi \quad \text{или} \quad 8x = \pi - 16x + 2k\pi \]

где \( k \) - целое число.

Решим первое уравнение:

\[ 8x - 16x = 2k\pi \implies -8x = 2k\pi \implies x = -\frac{k\pi}{4} \]

Теперь решим второе уравнение:

\[ 8x + 16x = \pi + 2k\pi \implies 24x = \pi + 2k\pi \implies x = \frac{(2k + 1)\pi}{24} \]

Теперь мы имеем два выражения для \( x \):

1. \( x = -\frac{k\pi}{4} \)
2. \( x = \frac{(2k + 1)\pi}{24} \)

Теперь определим корни, которые лежат в пределах \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \):

Для первого уравнения:

1. \( k = 0: x = 0 \)
2. \( k = -1: x = \frac{\pi}{4} \) (попадает в диапазон)
3. \( k = -2: x = \frac{\pi}{2} \) (попадает в диапазон)
4. Другие значения \( k \) при этом не подходят, так как они выходят за пределы.

В итоге для первого уравнения мы нашли корни:

1. \( 0 \)
2. \( -\frac{\pi}{4} \)
3. \( -\frac{\pi}{2} \)

Для второго уравнения:

Подберем значения \( k \) для \( \frac{(2k + 1)\pi}{24} \) в диапазоне \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \):

1. \( k = -1: x = -\frac{1\pi}{24} \) (в пределах)
2. \( k = 0: x = \frac{1\pi}{24} \) (в пределах)

Теперь у нас есть корни:

1. \( 0 \)
2. \( -\frac{\pi}{4} \)
3. \( -\frac{\pi}{2} \)
4. \( -\frac{\pi}{24} \)
5. \( \frac{\pi}{24} \)
6. \( \frac{\pi}{4} \)
7. \( \frac{\pi}{2} \)

Подсчитаем сумму корней:

Сумма корней: \[ 0 + -\frac{\pi}{4} + -\frac{\pi}{2} + -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \\ -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{24} = 0 \]

Теперь умножаем на \( 3\pi \): \[ 0 \times 3\pi = 0 \]

Итак, ответ:

\[ \boxed{0} \]