Sin3xcos5x=sin7xcos9x Запиши в поле ответа сумму корней, принадлежащих отрезку  [ − π 2 ; π 2 ] , [− 2 π ​ ; 2 π ​ ], умноженную на  3 π . π 3 ​ .

Для решения уравнения \( \sin(3x) \cos(5x) = \sin(7x) \cos(9x) \) мы можем использовать тригонометрические преобразования. Давайте рассмотрим каждую часть. Сначала воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса: \[ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)] \] Применяя эту формулу к обеим сторонам уравнения: 1. Левая сторона: \[ \sin(3x) \cos(5x) = \frac{1}{2} [\sin(3x + 5x) + \sin(3x - 5x)] = \frac{1}{2} [\sin(8x) + \sin(-2x)] = \frac{1}{2} [\sin(8x) - \sin(2x)] \] 2. Правая сторона: \[ \sin(7x) \cos(9x) = \frac{1}{2} [\sin(7x + 9x) + \sin(7x - 9x)] = \frac{1}{2} [\sin(16x) + \sin(-2x)] = \frac{1}{2} [\sin(16x) - \sin(2x)] \] Теперь можем приравнять обе стороны: \[ \frac{1}{2} [\sin(8x) - \sin(2x)] = \frac{1}{2} [\sin(16x) - \sin(2x)] \] Умножив обе стороны на 2, получаем: \[ \sin(8x) - \sin(2x) = \sin(16x) - \sin(2x) \] Сокращая \( \sin(2x) \) с обеих сторон, получаем: \[ \sin(8x) = \sin(16x) \] Теперь перейдем к решению уравнения \( \sin(8x) = \sin(16x) \). Поскольку синус имеет период \( 2\pi \), мы можем записать: \[ 8x = 16x + 2k\pi \quad \text{или} \quad 8x = \pi - 16x + 2k\pi \] где \( k \) - целое число. Решим первое уравнение: \[ 8x - 16x = 2k\pi \implies -8x = 2k\pi \implies x = -\frac{k\pi}{4} \] Теперь решим второе уравнение: \[ 8x + 16x = \pi + 2k\pi \implies 24x = \pi + 2k\pi \implies x = \frac{(2k + 1)\pi}{24} \] Теперь мы имеем два выражения для \( x \): 1. \( x = -\frac{k\pi}{4} \) 2. \( x = \frac{(2k + 1)\pi}{24} \) Теперь определим корни, которые лежат в пределах \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \): ### Для первого уравнения: 1. \( k = 0: x = 0 \) 2. \( k = -1: x = \frac{\pi}{4} \) (попадает в диапазон) 3. \( k = -2: x = \frac{\pi}{2} \) (попадает в диапазон) 4. Другие значения \( k \) при этом не подходят, так как они выходят за пределы. В итоге для первого уравнения мы нашли корни: 1. \( 0 \) 2. \( -\frac{\pi}{4} \) 3. \( -\frac{\pi}{2} \) ### Для второго уравнения: Подберем значения \( k \) для \( \frac{(2k + 1)\pi}{24} \) в диапазоне \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \): 1. \( k = -1: x = -\frac{1\pi}{24} \) (в пределах) 2. \( k = 0: x = \frac{1\pi}{24} \) (в пределах) Теперь у нас есть корни: 1. \( 0 \) 2. \( -\frac{\pi}{4} \) 3. \( -\frac{\pi}{2} \) 4. \( -\frac{\pi}{24} \) 5. \( \frac{\pi}{24} \) 6. \( \frac{\pi}{4} \) 7. \( \frac{\pi}{2} \) ### Подсчитаем сумму корней: Сумма корней: \[ 0 + -\frac{\pi}{4} + -\frac{\pi}{2} + -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \\ -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{24} = 0 \] Теперь умножаем на \( 3\pi \): \[ 0 \times 3\pi = 0 \] Итак, ответ: \[ \boxed{0} \]