f(x)=4x²+1/x

Давайте разберем функцию \( f(x) = 4x^2 + \frac{1}{x} \) и рассмотрим ее подробнее.

Шаг 1: Разделим функцию на части

Функция \( f(x) \) состоит из двух частей:

1. \( 4x^2 \) — это квадратичная функция.
2. \( \frac{1}{x} \) — это выражение, которое определяет гиперболу и не определено при \( x = 0 \).

Шаг 2: Определим область определения

Область определения — это значения \( x \), для которых функция определена. Учитывая вторую часть функции \( \frac{1}{x} \), мы видим, что функция не определена при \( x = 0 \), так как деление на ноль невозможно. Следовательно, область определения будет: \[ x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \] То есть все реальные числа, кроме нуля.

Шаг 3: Изучим поведение функции

1. Найдем производную: Чтобы понять, как функция изменяется (возрастает или убывает), найдем ее производную: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^2) + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = 8x - \frac{1}{x^2} \]

2. Найдем критические точки: Чтобы определить, где функция достигает максимумов или минимумов, решим уравнение \( f'(x) = 0 \): \[ 8x - \frac{1}{x^2} = 0 \] Умножим обе стороны на \( x^2 \) (при \( x \neq 0 \)): \[ 8x^3 - 1 = 0 \implies 8x^3 = 1 \implies x^3 = \frac{1}{8} \implies x = \frac{1}{2} \]

Теперь мы нашли одну критическую точку \( x = \frac{1}{2} \).

Шаг 4: Определим интервал возрастания и убывания

Теперь исследуем знак производной для интервалов \( x < 0 \), \( 0 < x < \frac{1}{2} \), и \( x > \frac{1}{2} \).

• Для \( x < 0 \): выбранное значение \( x = -1 \) даст \( f'(-1) = 8(-1) - \frac{1}{(-1)^2} = -8 - 1 < 0 \). Значит функция убывает.
• Для \( 0 < x < \frac{1}{2} \): выберем значение \( x = \frac{1}{4} \). Тогда \( f'\left(\frac{1}{4}\right) = 8 \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{\left(\frac{1}{4}\right)^2} = 2 - 16 < 0\). Функция по-прежнему убывает.
• Для \( x > \frac{1}{2} \): выберем значение \( x = 1 \). Тогда \( f'(1) = 8 \cdot 1 - 1 = 7 > 0 \). Функция возрастает.

Шаг 5: Определим поведение на границах

• На \( x \to 0^+ \): \( f(x) \to \infty \) (так как \( \frac{1}{x} \to \infty \)).
• На \( x \to 0^- \): \( f(x) \to -\infty \) (так как \( \frac{1}{x} \to -\infty \)).
• На \( x \to -\infty \): \( f(x) \to \infty \) (так как \( 4x^2 \to \infty \)).
• На \( x \to \infty \): \( f(x) \to \infty \).

Шаг 6: Подведение итогов

• Функция \( f(x) \) имеет одну критическую точку \( x = \frac{1}{2} \), и в этой точке происходит переход от убывания к возрастанию, что указывает на наличие минимума в этой точке.
• Область определения функции — все вещественные числа, кроме нуля.

Таким образом, мы проанализировали функцию \( f(x) = 4x^2 + \frac{1}{x} \), её критические точки, интервалы возрастания и убывания и поведение на границах. Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!