Определи при каком минимальном значении параметра a уравнение x^2-2x+a/x-3 =0 имеет единственный корень.
Чтобы уравнение \( \frac{x^2 - 2x + a}{x - 3} = 0 \) имело единственный корень, числитель этого дробного выражения, то есть \( x^2 - 2x + a \), должен равняться нулю в одной точке, когда знаменатель \( x - 3 \) не равен нулю.
Для того чтобы уравнение \( x^2 - 2x + a = 0 \) имело единственный корень, его дискриминант должен равняться нулю. Дискриминант \( D \) для квадратного уравнения \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) определяется по формуле:
\[ D = B^2 - 4AC \]
В нашем случае \( A = 1 \), \( B = -2 \), а \( C = a \).
Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 4 - 4a \]
Чтобы уравнение имело единственный корень, нам необходимо, чтобы дискриминант равнялся нулю:
\[ 4 - 4a = 0 \]
Решим это уравнение:
- Переносим \( 4a \) на правую сторону:
\[ 4 = 4a \]
- Делим обе стороны на 4:
\[ 1 = a \]
Таким образом, минимальное значение параметра \( a \), при котором уравнение \( \frac{x^2 - 2x + a}{x - 3} = 0 \) имеет единственный корень, равно \( a = 1 \).
Теперь необходимо убедиться, что при \( a = 1 \) у нас не будет ситуации, когда знаменатель равен нулю при этом корне.
Подставляем \( a = 1 \):
\[ x^2 - 2x + 1 = 0 \]
Это уравнение можно упростить как:
\[ (x - 1)^2 = 0 \]
Корень этого уравнения — \( x = 1 \). Теперь проверяем знаменатель:
\[ x - 3 = 1 - 3 = -2 \quad (\text{знаменатель не равен нулю}) \]
Таким образом, всё верно. Уравнение имеет единственный корень \( x = 1 \) при \( a = 1 \), что подтверждает, что \( a \geq 1 \).
Ответ: Минимальное значение параметра \( a \) равно \( 1 \).
