Чтобы уравнение ( \frac{x^2 - 2x + a}{x - 3} = 0 ) имело единственный корень, числитель этого дробного выражения, то есть ( x^2 - 2x + a ), должен равняться нулю в одной точке, когда знаменатель ( x - 3 ) не равен нулю.
Для того чтобы уравнение ( x^2 - 2x + a = 0 ) имело единственный корень, его дискриминант должен равняться нулю. Дискриминант ( D ) для квадратного уравнения ( Ax^2 + Bx + C = 0 ) определяется по формуле:
[
D = B^2 - 4AC
]
В нашем случае ( A = 1 ), ( B = -2 ), а ( C = a ).
Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:
[
D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 4 - 4a
]
Чтобы уравнение имело единственный корень, нам необходимо, чтобы дискриминант равнялся нулю:
[
4 - 4a = 0
]
Решим это уравнение:
- Переносим ( 4a ) на правую сторону:
[
4 = 4a
]
- Делим обе стороны на 4:
[
1 = a
]
Таким образом, минимальное значение параметра ( a ), при котором уравнение ( \frac{x^2 - 2x + a}{x - 3} = 0 ) имеет единственный корень, равно ( a = 1 ).
Теперь необходимо убедиться, что при ( a = 1 ) у нас не будет ситуации, когда знаменатель равен нулю при этом корне.
Подставляем ( a = 1 ):
[
x^2 - 2x + 1 = 0
]
Это уравнение можно упростить как:
[
(x - 1)^2 = 0
]
Корень этого уравнения — ( x = 1 ). Теперь проверяем знаменатель:
[
x - 3 = 1 - 3 = -2 \quad (\text{знаменатель не равен нулю})
]
Таким образом, всё верно. Уравнение имеет единственный корень ( x = 1 ) при ( a = 1 ), что подтверждает, что ( a \geq 1 ).
Ответ: Минимальное значение параметра ( a ) равно ( 1 ).
