Боковое ребро правильной усечённой четырёхугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45° . Найди высоту пирамиды, если стороны оснований пирамиды равны 3 и 7

Чтобы найти высоту правильной усеченной четырехугольной пирамиды, когда боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°, и стороны оснований равны 3 и 7, следуем шагам.

1. Обозначение параметров:

   • Обозначим сторону нижнего основания (большое основание) как \( a = 7 \).
   • Обозначим сторону верхнего основания (малое основание) как \( b = 3 \).
   • Высота усеченной пирамиды обозначим как \( h \).
   • Боковое ребро, которое наклонено под углом 45°, обозначим как \( s \).

2. Выяснение, что нам известно:

   • Мы знаем, что угол наклона бокового ребра (к плоскости основания) равен 45°.
   • Это значит, что если мы проведем перпендикуляр от верха усеченной пирамиды до плоскости основания, он будет образовывать прямоугольный треугольник вместе с боковым ребром.

3. Геометрия усеченной пирамиды:

   • Центры оснований (большого и малого) находятся на одной вертикали, а расстояние между ними будет равно высоте пирамиды \( h \).
   • Расстояние от центра одного основания до центра другого – это разность полупериметров оснований.

4. Нахождение расстояния между центрами оснований:

   • Полупериметр большого основания: \( \frac{a}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \).
   • Полупериметр малого основания: \( \frac{b}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \).

   Таким образом, расстояние между центрами оснований будет равно: \[ r = \frac{7 - 3}{2} = 2 \]

5. Использование тригонометрии:

   • Из прямоугольного треугольника, который образует высота \( h \), боковое ребро \( s \) и проекция бокового ребра на основании (которая равна \( r \)):
   • У нас есть угол 45°, следовательно, по свойству равностороннего треугольника, \( \tan(45^\circ) = 1 \): \[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{r} \] То есть: \[ 1 = \frac{h}{2} \]

6. Решение для \( h \): \[ h = 2 \]

Таким образом, высота усеченной четырехугольной пирамиды равна \( 2 \) единицы.