Боковое ребро правильной усечённой четырёхугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найди высоту пирамиды, если стороны оснований пирамиды равны 3 и 7

Чтобы найти высоту правильной усеченной четырехугольной пирамиды, когда боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°, и стороны оснований равны 3 и 7, следуем шагам. 1. **Обозначение параметров**: - Обозначим сторону нижнего основания (большое основание) как \( a = 7 \). - Обозначим сторону верхнего основания (малое основание) как \( b = 3 \). - Высота усеченной пирамиды обозначим как \( h \). - Боковое ребро, которое наклонено под углом 45°, обозначим как \( s \). 2. **Выяснение, что нам известно**: - Мы знаем, что угол наклона бокового ребра (к плоскости основания) равен 45°. - Это значит, что если мы проведем перпендикуляр от верха усеченной пирамиды до плоскости основания, он будет образовывать прямоугольный треугольник вместе с боковым ребром. 3. **Геометрия усеченной пирамиды**: - Центры оснований (большого и малого) находятся на одной вертикали, а расстояние между ними будет равно высоте пирамиды \( h \). - Расстояние от центра одного основания до центра другого – это разность полупериметров оснований. 4. **Нахождение расстояния между центрами оснований**: - Полупериметр большого основания: \( \frac{a}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \). - Полупериметр малого основания: \( \frac{b}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \). Таким образом, расстояние между центрами оснований будет равно: \[ r = \frac{7 - 3}{2} = 2 \] 5. **Использование тригонометрии**: - Из прямоугольного треугольника, который образует высота \( h \), боковое ребро \( s \) и проекция бокового ребра на основании (которая равна \( r \)): - У нас есть угол 45°, следовательно, по свойству равностороннего треугольника, \( \tan(45^\circ) = 1 \): \[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{r} \] То есть: \[ 1 = \frac{h}{2} \] 6. **Решение для \( h \)**: \[ h = 2 \] Таким образом, высота усеченной четырехугольной пирамиды равна \( 2 \) единицы.