Контрольная работа №3 Декартовы координаты Вариант 2 Даны точки D(7; –8) и R(–2;4). Найдите длину отрезка DR и координаты его середины. Точка T(5; –3) принадлежит окружности, а…

Рассмотрим каждую из задач по порядку. Мы будем детально объяснять каждое решение.

Задача 1: Найдите длину отрезка DR и координаты его середины

Дано: D(7; –8) и R(–2;4).

1. Найдём длину отрезка DR. Длина отрезка между двумя точками D(x₁, y₁) и R(x₂, y₂) вычисляется по формуле: \[ DR = \sqrt{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²} \] Подставим значения:

   • x₁ = 7
   • y₁ = -8
   • x₂ = -2
   • y₂ = 4

   Теперь подставим значения в формулу: \[ DR = \sqrt{((-2 - 7)² + (4 - (-8))²)} = \sqrt{((-9)² + (12)²)} = \sqrt{(81 + 144)} = \sqrt{225} = 15 \]

2. Найдём координаты середины отрезка DR. Координаты середины отрезка вычисляются по формуле: \[ M\left(\frac{x₁ + x₂}{2}, \frac{y₁ + y₂}{2}\right) \] Подставляя значения, получаем: \[ M\left(\frac{7 + (-2)}{2}, \frac{-8 + 4}{2}\right) = M\left(\frac{5}{2}, \frac{-4}{2}\right) = M\left(2.5, -2\right) \]

Ответ:

• Длина отрезка DR = 15
• Координаты середины отрезка DR = (2.5, -2)

Задача 2: Составьте уравнение окружности

Дано: точка T(5; –3) принадлежит окружности, а S(–7;–9) – центр.

1. Выясним радиус окружности. Расстояние от центра окружности до точки T: \[ r = \sqrt{(x_T - x_S)² + (y_T - y_S)²} \] Подставим: \[ r = \sqrt{(5 - (-7))² + (-3 - (-9))²} = \sqrt{(5 + 7)² + (-3 + 9)²} = \sqrt{(12)² + (6)²} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \]

2. Составим уравнение окружности. Уравнение окружности с центром (x₀, y₀) и радиусом r имеет вид: \[ (x - x₀)² + (y - y₀)² = r² \] Подставим S(–7; –9) и r² = (6√5)² = 180: \[ (x + 7)² + (y + 9)² = 180 \]

Ответ:

Уравнение окружности: \((x + 7)² + (y + 9)² = 180\)

Задача 3: Найдите координаты вершины A параллелограмма ABCD

Дано: B(–2; 4), C(6; 2), D(3; –4).

1. Используем свойства параллелограмма. Вектор AB равен вектору CD, поэтому: \[ A + D = B + C \] Отсюда можем выразить координаты A: \[ A = B + C - D \] Подставим значения:

   • B = (–2, 4)
   • C = (6, 2)
   • D = (3, –4)

   Теперь вычислим: \[ A = (-2 + 6 - 3, 4 + 2 - (-4)) = (1, 10) \]

Ответ:

Координаты вершины A = (1, 10)

Задача 4: Составьте уравнение прямой, проходящей через точки X (8; 14,5) и Y (–6; –10,7)

1. Найдём угол наклона (k) прямой. Формула для нахождения углового коэффициента: \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{–10,7 - 14,5}{–6 - 8} = \frac{–25,2}{–14} = \frac{25,2}{14} = \frac{126}{70} = \frac{63}{35} = \frac{9}{5} \]

2. Используем уравнение прямой y = kx + b. Сначала найдем b, подставив координаты одной из точек, например, X: \[ 14,5 = \frac{9}{5} \cdot 8 + b \implies b = 14,5 - \frac{72}{5} = \frac{72,5 - 72}{5} = \frac{0,5}{5} = \frac{1}{10} \]

3. Уравнение прямой: \[ y = \frac{9}{5}x + \frac{1}{10} \]

Ответ:

Уравнение прямой: \(y = \frac{9}{5}x + \frac{1}{10}\)

Задача 5: Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек Р (7; –3) и К (–4; –2)

1. Обозначим точку на оси абсцисс как A(x; 0). Условие равноудалённости: \[ AP = AK \] Это означает: \[ \sqrt{(x - 7)² + (0 + 3)²} = \sqrt{(x + 4)² + (0 + 2)²} \] В квадрате: \[ (x - 7)² + 3² = (x + 4)² + 2² \]

2. Раскроем скобки и упростим. \[ (x - 7)² + 9 = (x + 4)² + 4 \] Раскроем: \[ (x² - 14x + 49) + 9 = (x² + 8x + 16) + 4 \] Упрощаем: \[ x² - 14x + 58 = x² + 8x + 20 \] Убираем x²: \[ -14x + 58 = 8x + 20 \implies -22x = -38 \implies x = \frac{19}{11} \]

Ответ:

Координаты точки A = \(\left(\frac{19}{11}; 0\right)\)

Задача 6: Составьте уравнение прямой, параллельной y = –4,2x + 1,3 и проходящей через центр окружности

1. Находим центр окружности. Для уравнения окружности: \[ x² + y² + 12x - 2y + 27 = 0 \] Приведем его к каноническому виду, группируя x и y: \[ (x² + 12x) + (y² - 2y) + 27 = 0 \] Дополняем до полного квадрата: \[ (x + 6)² - 36 + (y - 1)² - 1 + 27 = 0 \implies (x + 6)² + (y - 1)² = 10 \] Центр окружности S = (–6; 1).

2. Уравнение прямой, параллельной заданной. Параллельная прямая имеет такой же угловой коэффициент, значит: Уравнение: \[ y - 1 = -4,2(x + 6) \] Раскроем скобки: \[ y - 1 = -4,2x - 25,2 \implies y = -4,2x - 24,2 \]

Ответ:

Уравнение прямой: \(y = -4,2x - 24,2\)

Это все задачи. Если у вас есть вопросы или нужны объяснения, дайте знать!