Контрольная работа №3
Декартовы координаты
Вариант 2
Даны точки D(7; –8) и R(–2;4). Найдите длину отрезка DR и координаты его середины.
Точка T(5; –3) принадлежит окружности, а точка S(–7;–9) – центр этой окружности. Составьте уравнение окружности.
Найдите координаты вершины A параллелограмма ABCD, если B (–2; 4), С (6; 2), D (3;–4).
Составьте уравнение прямой, проходящей через точки X (8; 14,5) и Y (–6; –10,7).
Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек Р (7; –3) и К (–4; –2).
Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой у= –4,2х+1,3 и проходит через центр окружности
х2+у2+12х–2у+27=0.
Рассмотрим каждую из задач по порядку. Мы будем детально объяснять каждое решение.
### Задача 1: Найдите длину отрезка DR и координаты его середины
Дано: D(7; –8) и R(–2;4).
1. **Найдём длину отрезка DR.**
Длина отрезка между двумя точками D(x₁, y₁) и R(x₂, y₂) вычисляется по формуле:
\[
DR = \sqrt{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}
\]
Подставим значения:
- x₁ = 7
- y₁ = -8
- x₂ = -2
- y₂ = 4
Теперь подставим значения в формулу:
\[
DR = \sqrt{((-2 - 7)² + (4 - (-8))²)} = \sqrt{((-9)² + (12)²)} = \sqrt{(81 + 144)} = \sqrt{225} = 15
\]
2. **Найдём координаты середины отрезка DR.**
Координаты середины отрезка вычисляются по формуле:
\[
M\left(\frac{x₁ + x₂}{2}, \frac{y₁ + y₂}{2}\right)
\]
Подставляя значения, получаем:
\[
M\left(\frac{7 + (-2)}{2}, \frac{-8 + 4}{2}\right) = M\left(\frac{5}{2}, \frac{-4}{2}\right) = M\left(2.5, -2\right)
\]
### Ответ:
- Длина отрезка DR = 15
- Координаты середины отрезка DR = (2.5, -2)
---
### Задача 2: Составьте уравнение окружности
Дано: точка T(5; –3) принадлежит окружности, а S(–7;–9) – центр.
1. **Выясним радиус окружности.**
Расстояние от центра окружности до точки T:
\[
r = \sqrt{(x_T - x_S)² + (y_T - y_S)²}
\]
Подставим:
\[
r = \sqrt{(5 - (-7))² + (-3 - (-9))²} = \sqrt{(5 + 7)² + (-3 + 9)²} = \sqrt{(12)² + (6)²} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}
\]
2. **Составим уравнение окружности.**
Уравнение окружности с центром (x₀, y₀) и радиусом r имеет вид:
\[
(x - x₀)² + (y - y₀)² = r²
\]
Подставим S(–7; –9) и r² = (6√5)² = 180:
\[
(x + 7)² + (y + 9)² = 180
\]
### Ответ:
Уравнение окружности: \((x + 7)² + (y + 9)² = 180\)
---
### Задача 3: Найдите координаты вершины A параллелограмма ABCD
Дано: B(–2; 4), C(6; 2), D(3; –4).
1. **Используем свойства параллелограмма.**
Вектор AB равен вектору CD, поэтому:
\[
A + D = B + C
\]
Отсюда можем выразить координаты A:
\[
A = B + C - D
\]
Подставим значения:
- B = (–2, 4)
- C = (6, 2)
- D = (3, –4)
Теперь вычислим:
\[
A = (-2 + 6 - 3, 4 + 2 - (-4)) = (1, 10)
\]
### Ответ:
Координаты вершины A = (1, 10)
---
### Задача 4: Составьте уравнение прямой, проходящей через точки X (8; 14,5) и Y (–6; –10,7)
1. **Найдём угол наклона (k) прямой.**
Формула для нахождения углового коэффициента:
\[
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{–10,7 - 14,5}{–6 - 8} = \frac{–25,2}{–14} = \frac{25,2}{14} = \frac{126}{70} = \frac{63}{35} = \frac{9}{5}
\]
2. **Используем уравнение прямой y = kx + b.**
Сначала найдем b, подставив координаты одной из точек, например, X:
\[
14,5 = \frac{9}{5} \cdot 8 + b \implies b = 14,5 - \frac{72}{5} = \frac{72,5 - 72}{5} = \frac{0,5}{5} = \frac{1}{10}
\]
3. **Уравнение прямой:**
\[
y = \frac{9}{5}x + \frac{1}{10}
\]
### Ответ:
Уравнение прямой: \(y = \frac{9}{5}x + \frac{1}{10}\)
---
### Задача 5: Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек Р (7; –3) и К (–4; –2)
1. **Обозначим точку на оси абсцисс как A(x; 0).**
Условие равноудалённости:
\[
AP = AK
\]
Это означает:
\[
\sqrt{(x - 7)² + (0 + 3)²} = \sqrt{(x + 4)² + (0 + 2)²}
\]
В квадрате:
\[
(x - 7)² + 3² = (x + 4)² + 2²
\]
2. **Раскроем скобки и упростим.**
\[
(x - 7)² + 9 = (x + 4)² + 4
\]
Раскроем:
\[
(x² - 14x + 49) + 9 = (x² + 8x + 16) + 4
\]
Упрощаем:
\[
x² - 14x + 58 = x² + 8x + 20
\]
Убираем x²:
\[
-14x + 58 = 8x + 20 \implies -22x = -38 \implies x = \frac{19}{11}
\]
### Ответ:
Координаты точки A = \(\left(\frac{19}{11}; 0\right)\)
---
### Задача 6: Составьте уравнение прямой, параллельной y = –4,2x + 1,3 и проходящей через центр окружности
1. **Находим центр окружности.**
Для уравнения окружности:
\[
x² + y² + 12x - 2y + 27 = 0
\]
Приведем его к каноническому виду, группируя x и y:
\[
(x² + 12x) + (y² - 2y) + 27 = 0
\]
Дополняем до полного квадрата:
\[
(x + 6)² - 36 + (y - 1)² - 1 + 27 = 0 \implies (x + 6)² + (y - 1)² = 10
\]
Центр окружности S = (–6; 1).
2. **Уравнение прямой, параллельной заданной.**
Параллельная прямая имеет такой же угловой коэффициент, значит:
Уравнение:
\[
y - 1 = -4,2(x + 6)
\]
Раскроем скобки:
\[
y - 1 = -4,2x - 25,2 \implies y = -4,2x - 24,2
\]
### Ответ:
Уравнение прямой: \(y = -4,2x - 24,2\)
---
Это все задачи. Если у вас есть вопросы или нужны объяснения, дайте знать!
