Точка T(5; –3) принадлежит окружности, а точка S(–7;–9) – центр этой окружности. Составьте уравнение окружности.

Чтобы составить уравнение окружности, нам нужно знать центр окружности и радиус. Из условий задачи мы видим, что:

• Центр окружности \( S(-7; -9) \)
• Точка \( T(5; -3) \) принадлежит окружности

Шаг 1: Вычисление радиуса окружности

Радиус \( r \) окружности равен расстоянию от центра окружности до любой точки на окружности. Мы можем воспользоваться формулой для вычисления расстояния между двумя точками \( S(x_1, y_1) \) и \( T(x_2, y_2) \):

\[ r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Подставим в формулу координаты точек \( S(-7; -9) \) и \( T(5; -3) \):

• \( x_1 = -7 \), \( y_1 = -9 \)
• \( x_2 = 5 \), \( y_2 = -3 \)

Теперь подставляем значения:

\[ r = \sqrt{(5 - (-7))^2 + (-3 - (-9))^2} \]

Упрощаем:

\[ r = \sqrt{(5 + 7)^2 + (-3 + 9)^2} = \sqrt{(12)^2 + (6)^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5} \]

Шаг 2: Составляем уравнение окружности

Уравнение окружности в общем виде выглядит так:

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]

Где \( (x_0, y_0) \) — координаты центра окружности, а \( r \) — радиус. В нашем случае:

• \( (x_0, y_0) = (-7, -9) \)
• \( r = 6\sqrt{5} \)

Таким образом, радиус в квадрате:

\[ r^2 = (6\sqrt{5})^2 = 36 \cdot 5 = 180 \]

Подставим эти значения в уравнение окружности:

\[ (x - (-7))^2 + (y - (-9))^2 = 180 \]

Упрощаем:

\[ (x + 7)^2 + (y + 9)^2 = 180 \]

Ответ

Уравнение окружности, которое имеет центр \( S(-7, -9) \) и проходит через точку \( T(5, -3) \), выглядит следующим образом:

\[ (x + 7)^2 + (y + 9)^2 = 180 \]