Найди площадь фигуры, ограниченной прямыми x = − π x=−π , x = π x=π , осью O x Ox и графиком функции f ( x ) = cos ⁡ x 4 f(x)=cos 4 x ​

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной прямыми \(x = -\pi\), \(x = \pi\), осью \(Ox\) и графиком функции \(f(x) = \cos^4 x\), необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Понимание задачи

Мы ищем площадь, образованную графиком функции и осью абсцисс на интервале от \(-\pi\) до \(\pi\). Площадь, ограниченная графиком функции, и осью будет находиться в пределах этих две вертикальных линий и линии, заданной функцией.

Шаг 2: Определение площади

Площадь \(A\) под графиком функции на определенном интервале можно найти, используя интеграл:

\[ A = \int_{-a}^{a} f(x) \, dx \]

где \(f(x) = \cos^4 x\) и в нашем случае \(a = \pi\). То есть мы будем вычислять интеграл:

\[ A = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^4 x \, dx \]

Шаг 3: Вычисление интеграла

Мы можем заметить, что функция \(\cos^4 x\) является четной, так как \(\cos(-x) = \cos x\). Это значит, что:

\[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos^4 x \, dx = 2 \int_{0}^{\pi} \cos^4 x \, dx \]

Теперь нам нужно вычислить интеграл \(\int_{0}^{\pi} \cos^4 x \, dx\). Для этого мы можем использовать формулу понижения степени:

\[ \cos^4 x = \left(\cos^2 x\right)^2 \]

Используем формулу для \(\cos^2 x\):

\[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \]

Подставляем это в выражение:

\[ \cos^4 x = \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)^2 \] \[ = \frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4} \] \[ = \frac{1 + 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}}{4} \] \[ = \frac{1 + 2\cos(2x) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(4x)}{4} \] \[ = \frac{3/2 + 2\cos(2x) + \frac{1}{2}\cos(4x)}{4} = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x) \]

Теперь можем перейти к вычислению интеграла:

\[ \int_{0}^{\pi} \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)\right) \, dx \]

Шаг 4: Вычисление интегралов

Теперь вычислим каждый из интегралов по отдельности:

1. \(\int_{0}^{\pi} \frac{3}{8} \, dx = \frac{3}{8} \cdot [x]_{0}^{\pi} = \frac{3\pi}{8}\)
2. \(\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}\cos(2x) \, dx\) — этот интеграл равен нулю, так как интеграл косинуса на полном периоде (от 0 до \(\pi\)) равен нулю.
3. \(\int_{0}^{\pi} \frac{1}{8}\cos(4x) \, dx\) — аналогично этот интеграл тоже равен нулю.

Таким образом, оставшаяся часть равна:

\[ \int_{0}^{\pi} \cos^4 x \, dx = \frac{3\pi}{8} \]

Шаг 5: Находим общую площадь

Следовательно, площадь \(A\) под графиком функции будет:

\[ A = 2 \int_{0}^{\pi} \cos^4 x \, dx = 2 \cdot \frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} \]

Ответ

Итак, площадь фигуры, ограниченной прямыми \(x = -\pi\), \(x = \pi\), осью \(Ox\) и графиком функции \(f(x) = \cos^4 x\), равна:

\[ \frac{3\pi}{4} \]