Чтобы решить задачу о том, сколькими способами можно выбрать четырех дежурных из 25 учащихся, нужно использовать комбинации. Комбинации — это способ выбора предметов, где порядок не имеет значения.
Шаг 1: Понять формулу
Формула для вычисления количества комбинаций выглядит следующим образом:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- ( C(n, k) ) — число способов выбрать ( k ) объектов из ( n ),
- ( n ) — общее количество объектов (в нашем случае, 25 учащихся),
- ( k ) — количество выбираемых объектов (в нашем случае, 4 дежурных),
- ( n! ) (n факториал) — произведение всех натуральных чисел от 1 до ( n ).
Шаг 2: Подставить числа в формулу
В нашей задаче ( n = 25 ) и ( k = 4 ). Теперь подставим эти значения в формулу:
[
C(25, 4) = \frac{25!}{4!(25-4)!} = \frac{25!}{4! \cdot 21!}
]
Шаг 3: Упрощение выражения
Факторial 25 (( 25! )) можно записать как ( 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21! ). Таким образом, мы можем упростить выражение:
[
C(25, 4) = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21!}{4! \times 21!}
]
Теперь сокращаем ( 21! ):
[
C(25, 4) = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22}{4!}
]
Теперь вычислим ( 4! ):
[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
]
Шаг 4: Подсчет числителя
Теперь посчитаем числитель:
[
25 \times 24 \times 23 \times 22
]
Выполним по шагам:
- ( 25 \times 24 = 600 )
- ( 600 \times 23 = 13800 )
- ( 13800 \times 22 = 303600 )
Теперь подставим в выражение:
[
C(25, 4) = \frac{303600}{24}
]
Шаг 5: Деление
Теперь давайте выполним деление:
[
C(25, 4) = 12650
]
Ответ
Таким образом, четырёх дежурных можно выбрать 12650 способами.
