В классе 25 учащихся. Сколькими способами можно выбрать из них четырёх дежурных?

Чтобы решить задачу о том, сколькими способами можно выбрать четырех дежурных из 25 учащихся, нужно использовать комбинации. Комбинации — это способ выбора предметов, где порядок не имеет значения.

Шаг 1: Понять формулу

Формула для вычисления количества комбинаций выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( C(n, k) \) — число способов выбрать \( k \) объектов из \( n \),
• \( n \) — общее количество объектов (в нашем случае, 25 учащихся),
• \( k \) — количество выбираемых объектов (в нашем случае, 4 дежурных),
• \( n! \) (n факториал) — произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \).

Шаг 2: Подставить числа в формулу

В нашей задаче \( n = 25 \) и \( k = 4 \). Теперь подставим эти значения в формулу:

\[ C(25, 4) = \frac{25!}{4!(25-4)!} = \frac{25!}{4! \cdot 21!} \]

Шаг 3: Упрощение выражения

Факторial 25 (\( 25! \)) можно записать как \( 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21! \). Таким образом, мы можем упростить выражение:

\[ C(25, 4) = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21!}{4! \times 21!} \]

Теперь сокращаем \( 21! \):

\[ C(25, 4) = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22}{4!} \]

Теперь вычислим \( 4! \):

\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]

Шаг 4: Подсчет числителя

Теперь посчитаем числитель:

\[ 25 \times 24 \times 23 \times 22 \]

Выполним по шагам:

1. \( 25 \times 24 = 600 \)
2. \( 600 \times 23 = 13800 \)
3. \( 13800 \times 22 = 303600 \)

Теперь подставим в выражение:

\[ C(25, 4) = \frac{303600}{24} \]

Шаг 5: Деление

Теперь давайте выполним деление:

\[ C(25, 4) = 12650 \]

Ответ

Таким образом, четырёх дежурных можно выбрать 12650 способами.