Михаил Катаясь с компанией на катере за 8 часов совершил путь от пристани до пляжа,позагорать 3 часа и вернулся обратно преодолев расстояние 72 км. Скорость течения реки равна 3 км/ч найдите скорость катера которую он будет развивать на озере

Для решения этой задачи начнем с определения ключевых параметров и обозначений. ### Дано: - Время в пути накатере (в одну сторону): \( t \) (время от пристани до пляжа) - Время, проведенное на пляже: 3 часа - Общее время в пути (туда и обратно): 8 часов - Общее расстояние (туда и обратно): 72 км - Скорость течения реки: 3 км/ч ### Необходимо найти: Скорость катера \( v_k \) на спокойной воде (в озере). ### Решение: 1. **Определим время в пути** Поскольку общее время, проведенное в пути, равно 8 часам, и 3 часа Михаил провел на пляже, время, потраченное на дорогу (туда и обратно), составит: \[ t_{путешествия} = 8 - 3 = 5 \text{ часов} \] 2. **Обозначим скорость катера** Обозначим скорость катера в водоеме как \( v_k \). Когда катер движется по течению, его скорость будет равна: \[ v_k + 3 \text{ км/ч} \] Когда он возвращается против течения, его скорость будет: \[ v_k - 3 \text{ км/ч} \] 3. **Определим расстояние до пляжа** Пусть расстояние от пристани до пляжа равно \( d \) км. Поскольку туда и обратно он прошел в общей сложности 72 км, мы можем записать уравнение: \[ 2d = 72 \implies d = 36 \text{ км} \] 4. **Запишем уравнения для времени в пути** Время, которое требуется, чтобы добраться до пляжа, равно: \[ t_вперед = \frac{d}{v_k + 3} \] Время, которое требуется, чтобы вернуться обратно, равно: \[ t_назад = \frac{d}{v_k - 3} \] Суммируя оба времени, получаем: \[ t_вперед + t_назад = 5 \] Подставив значение \( d \): \[ \frac{36}{v_k + 3} + \frac{36}{v_k - 3} = 5 \] 5. **Упростим уравнение** Умножим обе стороны на \( (v_k + 3)(v_k - 3) \): \[ 36(v_k - 3) + 36(v_k + 3) = 5(v_k + 3)(v_k - 3) \] Это будет: \[ 36v_k - 108 + 36v_k + 108 = 5(v_k^2 - 9) \] Стихнем и соберем одинаковые члены: \[ 72v_k = 5v_k^2 - 45 \] Переносим все в одну сторону: \[ 5v_k^2 - 72v_k - 45 = 0 \] 6. **Решим квадратное уравнение** Для нахождения корней используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) \] \[ D = 5184 + 900 = 6084 \] Теперь найдем корни: \[ v_k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 \pm \sqrt{6084}}{10} \] \[ \sqrt{6084} = 78 \approx 72 \pm 78 \Rightarrow v_k \text{ может быть положительным или отрицательным, выбираем положительный: } \] \[ v_k = \frac{150}{10} = 15 \text{ км/ч} \] ### Ответ: Скорость катера на озере составляет \( 15 \) км/ч.