Легко решить и доказать

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом. **Задача:** У нас есть квадрат размером \(128 \times 128\), из которого вырезали одну клетку. Нужно доказать, что оставшуюся фигуру можно замостить фигурами, состоящими из трех клеток, уложенными в форму буквы "Г". **Решение:** 1. **Представление задачи:** - У нас есть большой квадрат размером \(128 \times 128\). - Из этого квадрата удаляется одна клетка, оставляя фигуру с площадью \(16383\) клеток (потому что \(128^2 - 1 = 16383\)). 2. **Форма плитки:** - Плитка имеет форму буквы "Г", и состоит из трех клеток, следовательно, каждую плитку можно считать как фигуру размером \(1 \times 3\) или в любую другую ориентацию, при условии, что она замостит три смежные клетки. 3. **Цветовая индукция:** - Мы можем раскрасить весь квадрат в шахматный узор с чередованием черных и белых клеток. В этом случае одна клетка какого-либо цвета будет отсутствовать. - Площадь исходного квадрата \(128 \times 128\) — это четное число клеток, и в шахматной раскраске у нас будет одинаковое количество клеток каждого цвета. - Когда мы удаляем одну клетку, количество клеток одного цвета станет на одну клетку меньше, что оставляет \(64 \times 64 - 1\) клетку одного цвета. 4. **Проверка возможности замощения:** - Если рассмотреть каждую плитку "Г", она всегда закрывает одну клетку одного цвета и две другого. Это значит, что такие плитки могут замостить только фигуры, содержащие трехкратное количество клеток одного цвета и одну клетку другого. - Однако, поскольку разница в простом случае после удаления клетки составляет всего одну клетку, игнорируя цвет мы приходим к выводу, что такой тип плитки не может полностью замостить фигуру при любых условиях. Таким образом, по вышеописанной причине, полностью замостить оставшуюся часть квадрата плитками формы "Г" невозможно, так как всегда будет оставаться две клетки не одного цвета. Таким образом, задача доказана как невозможная для полного замощения.