1090 и 1092 решить

Для решения задач 1090 и 1092, давайте разберем их по отдельности.

Задача 1090:

Условие: У нас есть пароход, который проплыл 630 км вниз по течению и вернулся обратно за 30 часов. Нам нужно найти собственную скорость парохода, если скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Решение:

1. Обозначим переменные:

   • \( v \) — собственная скорость парохода (км/ч).
   • Скорость парохода по течению: \( v + 3 \) км/ч.
   • Скорость парохода против течения: \( v - 3 \) км/ч.

2. Найдем время в пути:

   • Время вниз по течению: \[ t_1 = \frac{630}{v + 3} \]
   • Время вверх по течению: \[ t_2 = \frac{630}{v - 3} \]

3. Общее время в пути: \[ t_1 + t_2 = 30 \]

4. Составим уравнение: \[ \frac{630}{v + 3} + \frac{630}{v - 3} = 30 \]

5. Решим уравнение:

   • Приведем к общему знаменателю: \[ 630(v - 3) + 630(v + 3) = 30(v^2 - 9) \]
   • Упростим: \[ 630v - 1890 + 630v + 1890 = 30v^2 - 270 \] \[ 1260v = 30v^2 - 270 \]
   • Приведем к квадратному уравнению: \[ 30v^2 - 1260v - 270 = 0 \]
   • Разделим на 30: \[ v^2 - 42v - 9 = 0 \]
   • Найдем корни с помощью дискриминанта: \[ D = 42^2 + 4 \times 9 = 1764 + 36 = 1800 \] \[ v = \frac{42 \pm \sqrt{1800}}{2} \]
   • Положительный корень (скорость должна быть положительной): \[ \sqrt{1800} \approx 42.43 \] \[ v \approx \frac{42 + 42.43}{2} \approx 42.215 \]

Ответ: Собственная скорость парохода примерно 42.2 км/ч.

Задача 1092:

Условие: Было 15 одинаковых ручек, 10 из которых добавили в магазин. Остальные продали по 6 рублей за штуку. Прибыль составила 9 рублей. Найти цену, по которой магазин купил одну ручку.

Решение:

1. Обозначим переменные:

   • \( x \) — цена покупки одной ручки (рублей).

2. Стоимость покупок:

   • Общая стоимость 15 ручек: \( 15 \times x \).

3. Доход от продажи:

   • Продали 5 ручек по 6 рублей каждая: \( 5 \times 6 = 30 \) рублей.

4. Прибыль:

   • Прибыль определяется как разница между полученной суммой и стоимостью закупленных товаров.
   • Прибыль от 5 ручек: \( 30 - 5x = 9 \).

5. Составим уравнение: \[ 30 - 5x = 9 \]

6. Решим уравнение: \[ 5x = 30 - 9 \] \[ 5x = 21 \] \[ x = \frac{21}{5} = 4.2 \]

Ответ: Магазин купил одну ручку за 4.2 рублей.