Чтобы решить эту задачу, нужно найти предел функции
[
\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 7x + 6}{2x^3 + x^3 - 4}.
]
Шаг 1: Упростим выражение
В числителе у нас: (x^2 + 7x + 6).
В знаменателе: (2x^3 + x^3 - 4 = 3x^3 - 4).
Шаг 2: Доминирующие степени
Для нахождения предела дробной функции при (x \to \infty), сосредоточимся на старших степенях (x) в числителе и знаменателе.
В числителе старшая степень — (x^2).
В знаменателе старшая степень — (3x^3).
Шаг 3: Факторизация доминирующих степеней
Чтобы вычислить предел, следует выделить доминирующие степени.
Поделим числитель и знаменатель на (x^3) (максимальная степень из знаменателя):
[
\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^3} + \frac{7x}{x^3} + \frac{6}{x^3}}{\frac{3x^3}{x^3} - \frac{4}{x^3}}.
]
Это упрощается до:
[
\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{7}{x^2} + \frac{6}{x^3}}{3 - \frac{4}{x^3}}.
]
Шаг 4: Проведение предела
Как (x) стремится к бесконечности, (\frac{1}{x} \to 0), (\frac{7}{x^2} \to 0), и (\frac{6}{x^3} \to 0).
Таким образом, предел выражения становится:
[
\frac{0 + 0 + 0}{3 - 0} = \frac{0}{3} = 0.
]
Ответ: Предел равен (0).
