треугольники авс и а1в1с1 подобны . Сторона ав=12 см а сходственная а1в1=4 см . Найти площадь треугольника а1в1с1 если площадь авс = 45 см

Для решения задачи о нахождении площади треугольника \(A_1B_1C_1\), учитывая, что треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) подобны, давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Использование свойства подобия треугольников

Когда два треугольника подобны, то отношение их соответствующих сторон равно отношению их площадей. Если обозначить:

• \( S_{ABC} \) — площадь треугольника \( ABC \),
• \( S_{A_1B_1C_1} \) — площадь треугольника \( A_1B_1C_1 \),
• \( k \) — коэффициент подобия (отношение соответствующих сторон), который можно найти по данным сторонам.

Мы знаем, что:

• \( AB = 12 \) см (сторона треугольника \( ABC \)),
• \( A_1B_1 = 4 \) см (сходственная сторона треугольника \( A_1B_1C_1 \)).

Шаг 2: Нахождение коэффициента подобия

Коэффициент подобия \( k \) можно найти следующим образом: \[ k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}. \]

Шаг 3: Нахождение отношения площадей

Поскольку площади треугольников также относятся как квадрат коэффициента подобия, то: \[ \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}. \]

Шаг 4: Вычисление площади треугольника \( A_1B_1C_1 \)

Теперь, зная площадь треугольника \( ABC \), равную 45 см², можем найти площадь \( A_1B_1C_1 \): \[ S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot \frac{1}{9} = 45 \cdot \frac{1}{9} = 5 \text{ см}^2. \]

Ответ

Площадь треугольника \( A_1B_1C_1 \) равна 5 см².