Чтобы найти математическое ожидание случайной величины ( Z ) с равными вероятностями, которая принимает все нечетные целые значения от 3 до 17, следуем следующим шагам:
Шаг 1: Определение множества значений
Сначала найдем все нечетные целые значения от 3 до 17. Они включают:
Таким образом, множество значений, которые может принимать ( Z ), равно ( {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17} ).
Шаг 2: Подсчет количества значений
Общее количество нечетных значений от 3 до 17 включительно:
- Количество значений ( = 8 ) (все перечисленные выше).
Шаг 3: Определение вероятностей
Так как все значения имеют равные вероятности, вероятность того, что ( Z ) примет любое из значений, равна:
[
P(Z = z) = \frac{1}{8} \quad \text{для } z = 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
]
Шаг 4: Вычисление математического ожидания
Математическое ожидание ( E(Z) ) вычисляется по формуле:
[
E(Z) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(Z = x_i)
]
где ( x_i ) — это значения, которые принимает случайная величина, а ( n ) — количество значений. В нашем случае:
[
E(Z) = 3 \cdot \frac{1}{8} + 5 \cdot \frac{1}{8} + 7 \cdot \frac{1}{8} + 9 \cdot \frac{1}{8} + 11 \cdot \frac{1}{8} + 13 \cdot \frac{1}{8} + 15 \cdot \frac{1}{8} + 17 \cdot \frac{1}{8}
]
Шаг 5: Приведение к общему знаменателю
Сложим все значения:
[
E(Z) = \frac{1}{8} (3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17)
]
Теперь вычислим сумму:
[
3 + 5 = 8
]
[
8 + 7 = 15
]
[
15 + 9 = 24
]
[
24 + 11 = 35
]
[
35 + 13 = 48
]
[
48 + 15 = 63
]
[
63 + 17 = 80
]
Итак, сумма всех значений равна 80.
Шаг 6: Подстановка суммы в формулу
Теперь подставим полученную сумму обратно в формулу для математического ожидания:
[
E(Z) = \frac{1}{8} \cdot 80 = 10
]
Ответ
[
E(Z) = 10
]
Таким образом, математическое ожидание случайной величины ( Z ), которая принимает нечетные значения от 3 до 17, равно 10.
