Найдите EZ, если случайная величина Z с равными вероятностями принимает: a) все нечетные целые значения от 3 до 17

Чтобы найти математическое ожидание случайной величины \( Z \) с равными вероятностями, которая принимает все нечетные целые значения от 3 до 17, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Определение множества значений

Сначала найдем все нечетные целые значения от 3 до 17. Они включают:

• 3
• 5
• 7
• 9
• 11
• 13
• 15
• 17

Таким образом, множество значений, которые может принимать \( Z \), равно \( \{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17\} \).

Шаг 2: Подсчет количества значений

Общее количество нечетных значений от 3 до 17 включительно:

• Количество значений \( = 8 \) (все перечисленные выше).

Шаг 3: Определение вероятностей

Так как все значения имеют равные вероятности, вероятность того, что \( Z \) примет любое из значений, равна:

\[ P(Z = z) = \frac{1}{8} \quad \text{для } z = 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 \]

Шаг 4: Вычисление математического ожидания

Математическое ожидание \( E(Z) \) вычисляется по формуле:

\[ E(Z) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(Z = x_i) \]

где \( x_i \) — это значения, которые принимает случайная величина, а \( n \) — количество значений. В нашем случае:

\[ E(Z) = 3 \cdot \frac{1}{8} + 5 \cdot \frac{1}{8} + 7 \cdot \frac{1}{8} + 9 \cdot \frac{1}{8} + 11 \cdot \frac{1}{8} + 13 \cdot \frac{1}{8} + 15 \cdot \frac{1}{8} + 17 \cdot \frac{1}{8} \]

Шаг 5: Приведение к общему знаменателю

Сложим все значения:

\[ E(Z) = \frac{1}{8} (3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17) \]

Теперь вычислим сумму:

\[ 3 + 5 = 8 \] \[ 8 + 7 = 15 \] \[ 15 + 9 = 24 \] \[ 24 + 11 = 35 \] \[ 35 + 13 = 48 \] \[ 48 + 15 = 63 \] \[ 63 + 17 = 80 \]

Итак, сумма всех значений равна 80.

Шаг 6: Подстановка суммы в формулу

Теперь подставим полученную сумму обратно в формулу для математического ожидания:

\[ E(Z) = \frac{1}{8} \cdot 80 = 10 \]

Ответ

\[ E(Z) = 10 \]

Таким образом, математическое ожидание случайной величины \( Z \), которая принимает нечетные значения от 3 до 17, равно 10.