1. Точка M(7; –5) принадлежит окружности, а точка N(–4;3) – центр этой окружности. Составьте уравнение окружности. 2. Найдите координаты вершины C параллелограмма ABCD, если А…

Давайте решим поставленные задачи по порядку.

Задача 1: Уравнение окружности

1. Даны данные:

   • Точка M(7; –5) — точка на окружности.
   • Точка N(–4;3) — центр окружности.

2. Обозначим:

   • Координаты центра окружности: \(N(x_0, y_0) = (-4, 3)\).
   • Координаты точки на окружности: \(M(x_1, y_1) = (7, -5)\).

3. Мы используем формулу расстояния для нахождения радиуса \(r\): \[ r = \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2} \]

4. Подставляем значения: \[ r = \sqrt{(7 - (-4))^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{(7 + 4)^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{11^2 + (-8)^2} \] \[ r = \sqrt{121 + 64} = \sqrt{185} \]

5. Теперь мы можем написать уравнение окружности. Уравнение окружности с центром \(N\) и радиусом \(r\) задается формулой: \[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]

6. Подставляем известные значения в уравнение: \[ (x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 185 \]

Таким образом, уравнение окружности будет: \[ (x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 185 \]

Задача 2: Координаты вершины C параллелограмма ABCD

1. Даны точки:

   • A (–5; –5)
   • B (–9; –5)
   • D (1; 2)

2. Обозначим координаты точки C как (x, y).

3. В параллелограмме противолежащие стороны равны и параллельны. Мы можем использовать тот факт, что вектор AB равен вектору CD: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-9 - (-5), -5 - (-5)) = (-4, 0) \] Это значит, что вектор CD также будет равен (-4, 0).

4. Теперь найдем C: \[ C = D + \overrightarrow{AB} = D + (-4, 0) = (1 - 4, 2 + 0) = (-3, 2) \]

Таким образом, координаты вершины C параллелограмма ABCD равны: \[ C(-3, 2) \]

Ответы:

1. Уравнение окружности: \((x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 185\)
2. Координаты вершины C: \(C(-3, 2)\)