Чтобы найти площадь треугольника ( OBC ), начнем с анализа задачи и необходимых шагов.
Шаг 1: Определим необходимые элементы треугольника ABC
Дано, что ABC - прямоугольный треугольник. При этом ( AC = 6 ) см и ( BC = 8 ) см. Найдём длину гипотенузы ( AB ) с помощью теоремы Пифагора:
[
AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}
]
Шаг 2: Найдем координаты вершин треугольника
Для удобства вычислений разместим треугольник в координатной плоскости:
- ( C(0, 0) )
- ( A(6, 0) ) (по оси X)
- ( B(0, 8) ) (по оси Y)
Шаг 3: Найдем координаты точки Н (середины гипотенузы AB)
Координаты точки H можно найти как среднее арифметическое координат точек A и B:
[
H_x = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{6 + 0}{2} = 3
]
[
H_y = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + 8}{2} = 4
]
Таким образом, ( H(3, 4) ).
Шаг 4: Найдем координаты точки O (середины медианы CH)
Координаты точки O, которая является серединой отрезка CH, находятся по формуле:
[
O_x = \frac{x_C + x_H}{2} = \frac{0 + 3}{2} = 1.5
]
[
O_y = \frac{y_C + y_H}{2} = \frac{0 + 4}{2} = 2
]
Следовательно, ( O(1.5, 2) ).
Шаг 5: Найдем координаты треугольника OBC
Теперь у нас есть координаты точек O, B и C:
- ( O(1.5, 2) )
- ( B(0, 8) )
- ( C(0, 0) )
Шаг 6: Найдем площадь треугольника OBC
Площадь треугольника, заданного тремя вершинами ( (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) ), можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2} | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) |
]
Подставим координаты:
- ( (x_1, y_1) = (1.5, 2) )
- ( (x_2, y_2) = (0, 8) )
- ( (x_3, y_3) = (0, 0) )
Теперь подставим в формулу:
[
S = \frac{1}{2} | 1.5(8 - 0) + 0(0 - 2) + 0(2 - 8) |
]
[
S = \frac{1}{2} | 1.5 \cdot 8 | = \frac{1}{2} \cdot 12 = 12 \text{ см}^2
]
Ответ
Площадь треугольника ( OBC ) равна ( 12 ) см².
