В прямоугольном треугольнике АВС точка О середина медианы СН, проведенной к гипотенузе АВ, АС=6 см, ВС=8см. Найдите площадь треугольника ОВС
Чтобы найти площадь треугольника \( OBC \), начнем с анализа задачи и необходимых шагов.
Шаг 1: Определим необходимые элементы треугольника ABC
Дано, что ABC - прямоугольный треугольник. При этом \( AC = 6 \) см и \( BC = 8 \) см. Найдём длину гипотенузы \( AB \) с помощью теоремы Пифагора:
\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \]
Шаг 2: Найдем координаты вершин треугольника
Для удобства вычислений разместим треугольник в координатной плоскости:
- \( C(0, 0) \)
- \( A(6, 0) \) (по оси X)
- \( B(0, 8) \) (по оси Y)
Шаг 3: Найдем координаты точки Н (середины гипотенузы AB)
Координаты точки H можно найти как среднее арифметическое координат точек A и B:
\[ H_x = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{6 + 0}{2} = 3 \] \[ H_y = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + 8}{2} = 4 \]
Таким образом, \( H(3, 4) \).
Шаг 4: Найдем координаты точки O (середины медианы CH)
Координаты точки O, которая является серединой отрезка CH, находятся по формуле:
\[ O_x = \frac{x_C + x_H}{2} = \frac{0 + 3}{2} = 1.5 \] \[ O_y = \frac{y_C + y_H}{2} = \frac{0 + 4}{2} = 2 \]
Следовательно, \( O(1.5, 2) \).
Шаг 5: Найдем координаты треугольника OBC
Теперь у нас есть координаты точек O, B и C:
- \( O(1.5, 2) \)
- \( B(0, 8) \)
- \( C(0, 0) \)
Шаг 6: Найдем площадь треугольника OBC
Площадь треугольника, заданного тремя вершинами \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) \), можно найти по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) | \]
Подставим координаты:
- \( (x_1, y_1) = (1.5, 2) \)
- \( (x_2, y_2) = (0, 8) \)
- \( (x_3, y_3) = (0, 0) \)
Теперь подставим в формулу:
\[ S = \frac{1}{2} | 1.5(8 - 0) + 0(0 - 2) + 0(2 - 8) | \] \[ S = \frac{1}{2} | 1.5 \cdot 8 | = \frac{1}{2} \cdot 12 = 12 \text{ см}^2 \]
Ответ
Площадь треугольника \( OBC \) равна \( 12 \) см².
