на координатной плоскости заданы точки А (-1;6), B (-4;-9), C (8;-10)и D (7;27). Найдите длину вектора 3AC- 2Bd

Для решения задачи начнем с нахождения векторов \( AC \) и \( BD \), а затем вычислим длину вектора \( 3AC - 2BD \).

Шаг 1: Найдем векторы \( AC \) и \( BD \)

Вектор \( AC \): Чтобы найти вектор \( AC \), вычтем координаты точки \( A \) из координат точки \( C \): \[ AC = C - A = (8, -10) - (-1, 6) = (8 - (-1), -10 - 6) = (8 + 1, -10 - 6) = (9, -16) \]

Вектор \( BD \): Теперь найдем вектор \( BD \): \[ BD = D - B = (7, 27) - (-4, -9) = (7 - (-4), 27 - (-9)) = (7 + 4, 27 + 9) = (11, 36) \]

Шаг 2: Посчитаем \( 3AC \) и \( 2BD \)

Теперь умножим каждый вектор на соответствующий коэффициент.

Вектор \( 3AC \): \[ 3AC = 3 \cdot (9, -16) = (3 \cdot 9, 3 \cdot -16) = (27, -48) \]

Вектор \( 2BD \): \[ 2BD = 2 \cdot (11, 36) = (2 \cdot 11, 2 \cdot 36) = (22, 72) \]

Шаг 3: Найдем вектор \( 3AC - 2BD \)

Теперь вычтем вектор \( 2BD \) из вектора \( 3AC \): \[ 3AC - 2BD = (27, -48) - (22, 72) = (27 - 22, -48 - 72) = (5, -120) \]

Шаг 4: Найдем длину вектора \( 3AC - 2BD \)

Длину вектора можно найти с помощью формулы: \[ ||v|| = \sqrt{x^2 + y^2} \] где \( v = (x, y) \).

В нашем случае \( v = (5, -120) \): \[ ||3AC - 2BD|| = \sqrt{5^2 + (-120)^2} = \sqrt{25 + 14400} = \sqrt{14425} \]

Шаг 5: Упростим вычисление

Теперь посчитаем значение: \[ \sqrt{14425} = \sqrt{25 \cdot 577} = 5 \sqrt{577} \]

Ответ

Длина вектора \( 3AC - 2BD \) равна \( 5 \sqrt{577} \).