Для решения задачи начнем с нахождения векторов ( AC ) и ( BD ), а затем вычислим длину вектора ( 3AC - 2BD ).
Шаг 1: Найдем векторы ( AC ) и ( BD )
Вектор ( AC ):
Чтобы найти вектор ( AC ), вычтем координаты точки ( A ) из координат точки ( C ):
[
AC = C - A = (8, -10) - (-1, 6) = (8 - (-1), -10 - 6) = (8 + 1, -10 - 6) = (9, -16)
]
Вектор ( BD ):
Теперь найдем вектор ( BD ):
[
BD = D - B = (7, 27) - (-4, -9) = (7 - (-4), 27 - (-9)) = (7 + 4, 27 + 9) = (11, 36)
]
Шаг 2: Посчитаем ( 3AC ) и ( 2BD )
Теперь умножим каждый вектор на соответствующий коэффициент.
Вектор ( 3AC ):
[
3AC = 3 \cdot (9, -16) = (3 \cdot 9, 3 \cdot -16) = (27, -48)
]
Вектор ( 2BD ):
[
2BD = 2 \cdot (11, 36) = (2 \cdot 11, 2 \cdot 36) = (22, 72)
]
Шаг 3: Найдем вектор ( 3AC - 2BD )
Теперь вычтем вектор ( 2BD ) из вектора ( 3AC ):
[
3AC - 2BD = (27, -48) - (22, 72) = (27 - 22, -48 - 72) = (5, -120)
]
Шаг 4: Найдем длину вектора ( 3AC - 2BD )
Длину вектора можно найти с помощью формулы:
[
||v|| = \sqrt{x^2 + y^2}
]
где ( v = (x, y) ).
В нашем случае ( v = (5, -120) ):
[
||3AC - 2BD|| = \sqrt{5^2 + (-120)^2} = \sqrt{25 + 14400} = \sqrt{14425}
]
Шаг 5: Упростим вычисление
Теперь посчитаем значение:
[
\sqrt{14425} = \sqrt{25 \cdot 577} = 5 \sqrt{577}
]
Ответ
Длина вектора ( 3AC - 2BD ) равна ( 5 \sqrt{577} ).
