Задача 20: Решите уравнение (x' + 3x^2 - 25x - 75 = 0).
Это уравнение — дифференциальное уравнение первого порядка. Прежде всего, упростим уравнение. Обозначим (x' = \frac{dx}{dt}), где (t) — независимая переменная.
Мы можем переписать уравнение в стандартной форме:
[
\frac{dx}{dt} = -3x^2 + 25x + 75
]
Это нелинейное дифференциальное уравнение. Для его решения можем использовать метод разделения переменных, если это возможно, но сначала рассмотрим полное уравнение для нахождения стационарных точек.
- Находим стационарные точки, приравняв правую часть к нулю:
[
-3x^2 + 25x + 75 = 0
]
Это квадратное уравнение. Решаем его через дискриминант:
[
D = 25^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 75 = 625 + 900 = 1525
]
Находим корни:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 \pm \sqrt{1525}}{-6}
]
Вычисляем:
[
x = \frac{25 \pm \sqrt{1525}}{6}
]
- Упростим (\sqrt{1525} \approx 39.05):
[
x_1 = \frac{25 + 39.05}{6} \approx 10.68, \quad x_2 = \frac{25 - 39.05}{6} \approx -2.34
]
Теперь мы получили стационарные точки. Для анализа решения продолжаем с методом, например, методом разделения переменных.
Задача 21: Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Для нахождения средней скорости за весь путь, используем формулу:
[
v_{ср} = \frac{S}{t}
]
где:
- (S) — общий путь,
- (t) — общее время.
Допустим, общая длина трассы (S) равна (L). Разделим её на две части: (S_1) и (S_2).
Пусть (S_1) — первая половина пути, а (S_2) — вторая половина, тогда:
[
S_1 = S_2 = \frac{L}{2}
]
Время на первой половине:
[
t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{L/2}{75} = \frac{L}{150}
]
Время на второй половине:
[
t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{L/2}{105} = \frac{L}{210}
]
Теперь найдем общее время (t):
[
t = t_1 + t_2 = \frac{L}{150} + \frac{L}{210}
]
Найдем общий знаменатель:
[
t = L \left(\frac{1}{150} + \frac{1}{210}\right)
]
Находим общий знаменатель, который равен 1050:
[
t = L \left(\frac{7}{1050} + \frac{5}{1050}\right) = L \cdot \frac{12}{1050} = \frac{L}{87.5}
]
Теперь подставляем в формулу для средней скорости:
[
v_{ср} = \frac{L}{t} = \frac{L}{\frac{L}{87.5}} = 87.5 \text{ км/ч}
]
Таким образом, средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути составляет (87.5 \text{ км/ч}).
