Часть 2. 20. Решите уравнение x'+3x2-25х-75-0. 21. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 75 км/ч, а вторую - со скоростью 105 км/ч. Найдите среднюю скорость…
Часть 2. 20. Решите уравнение x'+3x2-25х-75-0. 21. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 75 км/ч, а вторую - со скоростью 105 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Задача 20: Решите уравнение \(x' + 3x^2 - 25x - 75 = 0\).
Это уравнение — дифференциальное уравнение первого порядка. Прежде всего, упростим уравнение. Обозначим \(x' = \frac{dx}{dt}\), где \(t\) — независимая переменная.
Мы можем переписать уравнение в стандартной форме:
\[ \frac{dx}{dt} = -3x^2 + 25x + 75 \]
Это нелинейное дифференциальное уравнение. Для его решения можем использовать метод разделения переменных, если это возможно, но сначала рассмотрим полное уравнение для нахождения стационарных точек.
- Находим стационарные точки, приравняв правую часть к нулю:
\[ -3x^2 + 25x + 75 = 0 \]
Это квадратное уравнение. Решаем его через дискриминант:
\[ D = 25^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 75 = 625 + 900 = 1525 \]
Находим корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 \pm \sqrt{1525}}{-6} \]
Вычисляем:
\[ x = \frac{25 \pm \sqrt{1525}}{6} \]
- Упростим \(\sqrt{1525} \approx 39.05\):
\[ x_1 = \frac{25 + 39.05}{6} \approx 10.68, \quad x_2 = \frac{25 - 39.05}{6} \approx -2.34 \]
Теперь мы получили стационарные точки. Для анализа решения продолжаем с методом, например, методом разделения переменных.
Задача 21: Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Для нахождения средней скорости за весь путь, используем формулу:
\[ v_{ср} = \frac{S}{t} \]
где:
- \(S\) — общий путь,
- \(t\) — общее время.
Допустим, общая длина трассы \(S\) равна \(L\). Разделим её на две части: \(S_1\) и \(S_2\).
Пусть \(S_1\) — первая половина пути, а \(S_2\) — вторая половина, тогда:
\[ S_1 = S_2 = \frac{L}{2} \]
Время на первой половине:
\[ t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{L/2}{75} = \frac{L}{150} \]
Время на второй половине:
\[ t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{L/2}{105} = \frac{L}{210} \]
Теперь найдем общее время \(t\):
\[ t = t_1 + t_2 = \frac{L}{150} + \frac{L}{210} \]
Найдем общий знаменатель:
\[ t = L \left(\frac{1}{150} + \frac{1}{210}\right) \]
Находим общий знаменатель, который равен 1050:
\[ t = L \left(\frac{7}{1050} + \frac{5}{1050}\right) = L \cdot \frac{12}{1050} = \frac{L}{87.5} \]
Теперь подставляем в формулу для средней скорости:
\[ v_{ср} = \frac{L}{t} = \frac{L}{\frac{L}{87.5}} = 87.5 \text{ км/ч} \]
Таким образом, средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути составляет \(87.5 \text{ км/ч}\).
