Для решения задачи необходимо найти точки пересечения графиков функций (y = x^2) и (y = x + 6). Это можно сделать, приравняв обе функции в одно уравнение:
[
x^2 = x + 6.
]
Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения:
[
x^2 - x - 6 = 0.
]
Чтобы решить это квадратное уравнение, воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
]
где (a = 1), (b = -1), и (c = -6). Теперь вычислим дискриминант (D):
[
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.
]
Так как дискриминант положительный, у этого уравнения будет два различных корня. Теперь подставим значения в формулу:
[
x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3,
]
[
x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2.
]
Мы нашли два значения (x): это (x_1 = 3) и (x_2 = -2).
Теперь подставим эти значения (x) обратно в одно из уравнений, чтобы найти соответствующие значения (y). Удобнее использовать уравнение (y = x + 6):
Для (x = 3):
[
y = 3 + 6 = 9.
]
Для (x = -2):
[
y = -2 + 6 = 4.
]
Таким образом, точки пересечения графиков функций (y = x^2) и (y = x + 6) являются:
[
(3; 9) \quad \text{и} \quad (-2; 4).
]
Запишем ответ в нужном формате:
Точками пересечения графиков являются точки ( (3; 9) ) и ( (-2; 4) ).
